第一章趣味數學知識1
數學的產生
數學最初是從結繩記事開始的。大約在三百萬年前，人類還處於茹毛飲血的原始時代，以采集野果、圍獵野獸為生。這種活動常常是集體進行的，所得的“產品”也平均分配。這樣，古人便漸漸產生了數量的概念。他們學會了在捕獲一頭野獸後用一個石子、一根木條來代表；或者用在繩子上打結的方法來記事、記數。這樣，在原始社會人們的眼光中，一個繩結就代表一頭野獸，兩個結代表兩頭……或者一個大結代表一頭大獸，一個小結代表一頭小獸……數量的觀念就是在這些過程中逐漸發展起來的。隨著捕獲手段的提高，所獲的野獸越多，繩子的結越多，需要的數目也越大。
在距今大約五六千年以前，沿非洲的尼羅河出現了一個偉大的文明社會——埃及。埃及人較早地學會了農業生產。尼羅河每年7月定期泛濫，淹沒大片農地，11月洪水逐漸退落。埃及人通過長期觀察，注意到當天狼星和太陽同時出沒的時候，正是洪水將至的預兆。還發現，這種現象大約365天重複一次。這樣，埃及人就選擇在洪水泛濫之後留下的肥沃淤泥上下種，待6月洪水來臨之前收割，以獲得好的收成。這是通過天文觀測進行農業生產的結果，其中也包含了數學知識的應用。另一方麵，古埃及的農業製度，是把同樣大小的正方形土地分配給每一個人的，租用的人每年把他的收成提取一部分給土地所有者——國王。如果洪水衝毀了他們所分得的土地，他可以向國王報告，國王便派人前來調查並測量損失的那一部分，這樣，他交的租就會相應減少。這種對於土地的測量，導致了幾何學的誕生。實際上，幾何學的原意就是“土地測量”。
數學正是從打結記數和土地測量開始的。
與埃及同時，世界上還有幾個同樣偉大的文明社會，如亞洲西部的巴比倫，南部的印度和東部的中國，它們分別創造了自己的文字，同時也產生了各自的記數法和最初的數學知識。在距今大約兩千多年以前生活在歐洲東南部的希臘人，繼承了這些數學知識，並將數學發展成為一門係統的理論科學。古希臘文明被毀滅後，阿拉伯人保存和繼承了他們的文化，後來又傳回歐洲，使得數學重新繁榮起來，並最終導致了近代數學的創立。
數的出現
原始社會，人類在狩獵、種植、捕魚、采集等活動中，要與野獸、魚、木棒、石頭等打交道，久而久之，人們便有了多少、數量的認識。這種對數的認識往往與實物聯係在一起，如用“月亮”代表“1”，用“眼睛”、“耳朵”、“鳥的翅膀”代表“2”。這是由於隻有一個月亮，人有兩隻眼睛兩隻耳朵、鳥有兩隻翅膀的緣故。原始人還認識到一個蘋果和一頭羊各是一個個體，三棵樹和三把石斧都是三個個體的堆等，這就是最初的數的概念。
最早用來計數的是手指、腳趾，或小石子、小木棍等。表示1，2，3，4個物體，就分別伸出1，2，3，4手指，遇到5個物體便伸出一隻手，10個物體伸出兩隻手。當數目很多時，就用小石子來計數，10顆小石子一堆就用大一些的一顆石子來代表。中國古代用的是木、竹或骨子製成的小棍，稱為算籌。但是，大多數的原始人遇到大一些的數目，往往無法區分。
用手指、腳趾、石子、小木棍等來計數，難以長時間記錄一個數字。因此，古人發明了打繩結來記數的方法，或者在獸皮、樹木、石頭上刻畫記數。這些記號，慢慢就變成了最早的數字符號(數碼)。
現在通用的數碼是印度——阿拉伯數碼，用十進位製來表示數。用0，1，2，……9十個數碼可表示任一數，低一位的數滿10後就進到高一位上去。這種十進製，現在看來簡單而平常，可它卻是人類經過長期努力才演變成的。如在古埃及，數碼記號是這樣的：
110100100010000100000100000010000000
一個數中若某位數超過1時，就要將它的符號重複寫若幹次。寫更大的數則是一大串符號了，這樣運算當然十分困難。古希臘人也需要27個字母互相組合，才能表示100以內的數目，非常不便。
除了十進製以外，還有五進製、二進製、三進製、七進製、八進製、十一進製、十二進製、二十進製、六十進製等。經過長期實際生活的應用，十進製占了上風。
數的概念和數碼、進位製的出現和發展，都是人類長期實踐活動的結果。
泥版的故事
19世紀前期，人們在亞洲西部伊拉克境內發現了50萬塊泥版，上麵密密麻麻地刻有奇怪的符號。這些符號是古巴比倫人所用的文字，現在人們稱它為“楔形文字”。科學家經過研究，弄清了泥版上所記載的，是古巴比倫人已獲得的知識，其中包括了大量的數學知識。
古代人最初用石塊、繩結，後來又用手指來記數。一個指頭代表1，兩個指頭代表2，……當數到10時，就得重新開始，巴比倫人由此產生了逢十進一概念。又因為，一年中月亮有12次圓缺，一隻手又有5個指頭，12×5=60。這樣，他們又有了隔60進一的記數法。他們用表示1，＜表示10，從1到9是把寫相應的次數，從10到50是把＜和結合起來寫相應的次數。例如35寫成＜＜＜。這種記數的方法，影響了後人，產生了現在我們所用的十進製和六十進製。例如，時間分為1小時=60分，1分=60秒。
巴比倫人還掌握了許多計算方法，並且編製各種數表幫助計算。從那些泥版上，人們發現巴比倫人已有了乘法表、倒數表、平方和立方表、平方根和立方根表。他們還運用了代數概念。
巴比倫泥版上還有這樣的問題：兄弟10人分123米那的銀子(米那及後麵的賽克爾都是古代的重量單位，其中1米那=60賽克爾)，已知他們分得的銀子數成等差數列，而且第八個人的銀子為6賽克爾，求每人所得的銀子數量。從這樣一些例子中，科學家認識到了巴比倫已知道等差數列、等比數列的概念。
巴比倫人也具備了初步的幾何知識。他們會把不規則形狀的田地分割為長方形、三角形和梯形來計算麵積，也能計算簡單的體積。他們非常熟悉等分圓周的方法，求得圓周與直徑的比π≈3，還使用了勾股定理。
他們的成就對後來數學的發展產生了巨大的影響。
金字塔和紙草書
聞名世界的埃及金字塔，幾百年來不僅以它宏偉高大的氣勢，吸引了無數旅遊觀光者，而且由於它設計的別致，建造的精巧，吸引了世界各地的科學家。據對最大的胡夫金字塔的測算，發現它原高1465米(現因損壞還高137米)，基底正方形每邊長233米(現為227米)。但是，各底邊長度的誤差僅僅是16厘米，隻是全長的114600；基底直角的誤差隻有12″，僅為直角的127000。此外，金字塔的四個麵正向著東南西北，底麵正方形兩邊與正北的偏差，也分別隻有2′30″和5′30″。
這麼高大的金字塔，建造精度如此之高，這使得科學家深信，古埃及人已掌握了豐富的知識。當科學家破譯了古埃及人流傳下來草片上的文字後，這一猜想得到了證實。
原來，在尼羅河三角洲盛產一種形狀如蘆葦的水生植物——紙莎草，古埃及人把這種草從縱麵剖成小條，拚排整齊，連接成片，壓榨曬幹，用來寫字，在紙莎草上寫的字，叫紙草書。如今將這種紙草書的一部分整理出來。
1822年，一位名叫高博良的法國人弄清了它們的含義，使人們知道，古埃及人已學會用數學來管理國家和宗教事務，確定付給勞役者的報酬，求穀倉的容積和田地的麵積，按土地麵積估計應該征收的地稅，計算修造房屋和防禦工程所需要的磚塊數；計算釀造一定量酒所需的穀物數量；等等。換成數學的語言就是，古埃及人已經掌握了加減乘除運算、分數的運算；他們解決了一元一次方程和一類相當於二元二次方程組的特殊問題。紙草書上還有關於等差數列和等比數列的問題。他們計算矩形、三角形和梯形的麵積，長方體、圓柱體、棱台的體積等結果，與現代計算值相近。更令人驚奇的是，他們用公式A=(89d)2(d為直徑)來計算圓麵積，這相當於取π值為31605，這是非常了不起的。