拉格朗日是變分法的開拓者和分析力學的奠基人。1766年，普魯士王腓特烈大帝寫給拉格朗日的信中說：“歐洲最大之希望，歐洲最大的數學家——拉格朗日在我的宮廷之中。”拿破侖曾讚美他是“一座高聳的金字塔”。
拉格朗日1736年1月25日生於意大利的都靈。父親是陸軍騎兵裏的一名會計官，後又經商，因經商破產，家庭經濟景況日漸衰落。拉格朗日是長子，他有11個弟弟的妹妹。因此，父親一心想讓他學法律，將來當一名大律師，重振家業。然而，拉格朗日對法律毫無興趣，卻偏偏喜愛文學。父親因而對他大失所望，放棄了對孩子學業上的信心。
拉格朗日並不是一位“數學神童”，恰恰相反，直到17歲的時候他對數學還未發生興趣，他特別喜歡文學。17歲那年，他偶然讀到一篇英國天文學家哈雷撰寫的介紹牛頓微積分方麵成就的文章——《論分析方法的優點》，使他對牛頓產生了無限崇拜和敬仰，於是下決心做牛頓式的數學家。
在進入都靈皇家炮兵學院學習後，拉格朗日就開始有計劃地自學數學。由於他勤奮刻苦，進步很快，尚未畢業就擔任了該校的數學教學工作。18歲開始撰寫數學論文，19歲竟然已經被正式任命為該校幾何學教師。
這一年，拉格朗日開始研究“極大和極小”的問題，采用了純分析的方法，全麵而係統地處理了範圍很廣的一類問題。1755年8月，他寫信把這個方法告訴了著名數學家歐拉，歐拉立即給他回了一封熱情洋溢的信，祝賀他取得的巨大成就。就這樣通信、討論，拉格朗日和大數學家歐拉一起開辟了數學的一個新的分支——變分法。
1756年，在歐拉的推薦下，20歲的拉格朗日被提名為柏林科學院的通訊院士，接著又當選為該院的外國院士。
1762年，法國科學院提出“月球天平動”的問題，作為1764年的懸賞題目。要求用萬有引力定律解釋月球何以自轉，以及自轉時總是以同一麵對著地球，且產生二均差。在這次懸賞征答中，拉格朗日寫出一篇出色的論文，成功地解決了這一問題，獲得了科學院大獎，得到了巴黎同行的讚揚。一下子，拉格朗日的名字便傳遍了法國、德國、意大利，乃至整個歐洲，引起了世人的矚目。
兩年之後，法國科學院又提出了木星四衛星的問題，這是一個比克雷羅、達蘭貝爾、歐拉研究過的“三體問題”複雜得多的“六體問題”。所謂“六體問題”就是木星、木星的四個衛星(當時隻發現木星有四個衛星)和太陽之間的攝動問題。
這個問題精確的數學計算在當時是相當困難的。拉格朗日麵對這一難題，毫不畏懼，經過數個晝夜的艱苦奮鬥，最後，他終於用近似解法克服了困難，從而再度獲獎。這兩次獲獎使他贏得了世界性的聲譽。
1766年，拉格朗日到柏林科學院工作，1776年接替歐拉擔任柏林科學院院長的職務。1787年，拉格朗日離開柏林到了巴黎，先後任巴黎師範學校和巴黎工藝學院教授。
在柏林科學院的20年中，拉格朗日發表了許多的論文，成果豐富，多次獲得法國科學院大獎：1772年以論文《論三體問題》獲獎；1773年以論文《論月球的長期方程》再次獲獎；1779年又以論文《由行星活動的試驗來研究彗星的攝動理論》而獲得了雙倍獎金。
拉格朗日在柏林科學院期間，對代數、數論、微分方程、變分法和力學等方麵進行了廣泛而深入的研究。他最有價值的貢獻之一是在方程論方麵。在對前人用來解決四次以下方程的全部方法的基礎上，又進行了深入的研究。於是得出了結論：用代數運算解一般n次方程(n＞4)是不能的。雖然對於這一結論他沒能給出證明，但它對後來伽羅華建立群論起到了極為重要的作用。
最值得一提的是他完成了自牛頓以後最偉大的經典著作《論不定分析》，出版時他已經52歲，整整經曆了37個春秋，傾注了他的全部智慧和心血。在這部巨著中，他是利用變分原理，建立了優美而和諧的力學體係。
他在序言中寫道：“我們已經有了力學方麵的各種專著，但本書的計劃是全新的。我曾致力於將這門科學‘力學’，以及解決與它有關問題的技巧，化歸為一般性的公式，這些公式的簡單推導就給出解決每一個問題所必須的全部方程……在這項工作中找不到圓形。我在其中所闡明的方法，既不要作圓，也不要求幾何和力學的推理，而隻是一些遵照一致而正確的程序的代數‘分析’運算。喜歡分析的人將高興地看到力學變為它的一個分支，並將感激我擴大了它的領域。”
確實，拉格朗日把宇宙譜寫成由數字和方程組成的有節奏的旋律，把動力學發展到登峰造極的地步，並把固體力學和流體力學這兩個分支統一起來。毫不誇張地說，這部巨著奠定了現代力學的整個基礎。因此，偉大的科學家哈密頓把它譽為“科學詩篇”。
拉格朗日堪稱第一位真正的分析家，他以嚴謹的科學態度研究每一個問題，精益求精。他的工作對於以後幾個世紀中數學所遵循的路線有著深遠的影響，也為高斯、阿貝爾等一代數學家的成長提供了豐富的營養。在以後一百多年的時間裏，數學裏很多重大的發現幾乎都與他的研究有關。