探究函數思想，提高考研數學課堂教學質量
考試研究
作者：李霞
摘 要： 函數是考研數學中最重要的基本概念之一，而由此產生的函數思想更是重要的.在考研數學教學中，重視函數思想的滲透與貫穿，對於培養學生的數學思維能力和提高課堂教學質量均具有非常深遠的意義.
關鍵詞： 函數思想 考研數學課堂教學 應用
函數是考研數學中最重要的基本概念之一，而由此產生的函數思想對於微積分理論的學習更加重要，它幾乎貫穿考研高等數學教學內容的始終，非常值得探究.所謂函數思想，就是運用函數的方法，必要時引入輔助函數，化靜為動、化離散為連續、化特殊為一般、化形式為內容、化常量為變量、化未知為近似、化存在為內在規律，將所討論的問題轉化為函數問題並加以解決的一種重要的思想方法.在考研數學課堂教學中，重視函數思想的滲透與貫穿，對於培養學生的數學思維能力和提高課堂教學質量均具有非常深遠的意義.
一、以函數為橋梁，化靜為動——函數思想在方程根的存在性問題中的應用
代數方程與函數相比，前者是靜止，後者是運動，方程的根可視為對應函數在某種特定狀態下的值.在研究方程問題時，特別是證明方程根的存在性與個數時，若從函數的觀點出發，化靜為動，往往能將問題化難為易，化繁為簡.
例1：證明方程x+x-1=0隻有一個正根.
解：設函數f（x）=x+x-1，x∈[0，+∞），因為f（x）在閉區間[0，1]上連續，且f（0）=-1
0，所以由零點定理知，至少存在一點ξ∈（0，1），使f（ξ）=0，也即方程x+x-1=0至少有一個正根ξ.又因為f′（x）=5x+1>0恒成立，所以函數f（x）在[0，+∞）上單調增加，故方程x+x-1=0隻有一個正根. 二、以函數為背景，化離散為連續——函數思想在數列問題中的應用 數列通項可看作定義在正整數集上的離散函數u=f（n）（n∈Z），而將它連續化後的函數y=f（x）（x∈（0，+∞））通常很可能具有可導性等良好的性質.從函數的觀點出發，將數列問題轉化為相應的連續化函數問題，是求解數列問題的有效方法之一. 例2：試求數列{}的最大項. 分析與求解：數列{}各項分別為1，，，，…，，若想通過比較法求解最大項，十分困難.現采用函數方法求解，將數列{}連續化為函數f（x）=，在（0，+∞）上作一般討論.因f（x）==x=e，故f′（x）=（e）′=，令f′（x）=0得f（x）在（0，+∞）上唯一駐點x=e，當x>e時，f′0，f（x）單調增加，故f（x）在x=e處取得最大值e.而2 又f（2）=≈1.414 三、以函數為背景，化特殊為一般——函數思想在級數求和問題中的應用 例3：求級數的和. 分析與求解：此問題直接求解相當困難，於是想引入一個適當的函數項級數u（x），使得當x取某個特定值x時，u（x）恰好等於，且函數項級數u（x）的和函數比較容易得到.為此，引入s（x）=，則=s（）.冪級數的收斂區間為（-1，1），顯然x=∈（-1，1）.利用逐項積分公式得， S（x）==x=x？蘩xdx=x？蘩（x）dx=x？蘩dx=-xln（1-x） 故=s（）=-ln=ln2. 四、以函數為中心，化形式為內容——函數思想在不等式證明問題中的應用 在證明不等式時，可以將不等式問題化為以函數為中心的問題思考，化形式為內容，從而為解決問題帶來方便. 例4：證明不等式≤+ 分析與證明：通過觀察不等式的形式特征，發現它的內容實質上是以函數f（x）=，x∈[0，+∞）為中心的問題.事實上，因為f′（x）=>0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上單調增加.又因為0≤|a+b|≤|a|+|b|，所以f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），即≤， 而=+≤+， 所以由不等式的傳遞性得≤+. 五、以函數為媒介、化常量為變量——函數思想在積分問題中的應用 例5：證明微積分基本公式？蘩f（x）dx=F（b）-F（a）. 分析與證明：牛頓和萊不尼茲在證明微積分基本公式？蘩f（x）dx=F（b）-F（a）時，將常量b一般化為變量x，引入變上限函數φ（x）=？蘩f（t）dt，於是定積分？蘩f（x）dx可看作φ（x）在x=b處的值，隻需先證明φ（x）=F（x）-F（a），事實上，由於變上限函數φ（x）=？蘩f（t）dt與F（x）都是f（x）的原函數，因此二者之間隻相差一常數C，即？蘩f（t）dt=F（x）+C，令x=a得C=-F（a），因此？蘩f（t）dt=F（x）-F（a），再將x=b代入即可得到要證明的結論.這是用函數思想研究積分問題的典型代表. 六、以函數為工具、化未知為近似——函數思想在近似計算中的應用 求解某些常數問題，可以轉化為函數問題，化未知為近似，應用函數微分與函數增量之間的關係作出近似計算. 例6：計算. 解：==5，設f（x）=，x=1，△x=-，則f（1）=1，f′（1）=， 因為|△x|=較小，所以f（x+△x）-f（x）≈f′（x）△x，即≈1+（-）×=， 所以≈5×≈4.6667. 七、以函數為紐帶、化存在為內在規律——函數思想在討論中間值存在性問題中的應用 例7：設b>a>0，證明存在ξ∈（a，b），使得blna-alnb=（b-a）（lnξ-1）成立. 分析與證明：由於要證中間值ξ的存在性，這類問題顯然要用到中值定理，關鍵要從所證等式中發現內在規律性，找到要構造出何種函數應用中值定理.所證等式經過變形，實質上等價於=lnξ-1，還是看不出要找的函數，為了湊出f（b）-f（a）的形式，繼續變形為=lnξ-1，這樣就能看出應對函數，在[a，b]上應用柯西中值定理.事實上，設函數f（x）=，g（x）=，則它們在[a，b]上滿足柯西中值定理的條件， 所以，存在ξ∈（a，b），使得=，即=， 化簡得blna-alnb=（b-a）（lnξ-1）. 參考文獻： [1]高等數學（第六版）.同濟大學應用數學係編.高等教育出版社.