有限元及其在現代機械工程中的運用
科技專論
作者：孫建民 徐冰晶
【摘要】有限元法最早是在變分原理的基礎上發展起來的，是一種在工程科學中經常使用的高效率的計算方法，能夠成功解決很多複雜的計算問題和設計難題，如今已經成為現代工程設計以及工程分析的重要工具和手段。隨著計算機技術的應用與發展，有限元法獲得了更大的發展空間，成為CAE技術的一種，具有很大的優越性。
【關鍵詞】有限元法；有限元分析軟件；發展與應用
隨著市場競爭的日益激烈，為了取得競爭中的優勢，很多企業都迫切想開發出成本低廉，性能優良的產品，但以往的產品設計都是由專家根據自身經驗進行設計，製造出樣機後，通過反複試驗，不斷優化產品，最終才能投入生產，這樣的過程十分漫長，並且會耗費大量的人力、物力、財力。而有限元法可以省略或減少樣機的製造和試驗的過程，降低產品的生產製造成本，為企業獲取更大的利潤。
1.有限元法的應用目的及特點
1.1有限元法的應用目的
計算機科學的發展帶來了一場革命，人們的思想觀念悄然轉變，工作方式與生活方式也與之前大不相同。在工程科學中，以虛擬樣機為代表的計算機輔助工程（CAE）廣泛應用在工程分析與設計中，可以大大縮短產品的開發設計與試驗過程，由於產品成本、產品從研製到推向市場所需的時間都與產品設計有關，因此，在工程科學中的運用可以大大降低生產成本，為企業創造更多的效益。此外，CAE法還可以發現產品製造中的潛在問題，有助於提高產品性能。CAE法包括有限元法（FEM）、邊界元法（BEM）、有限差分法（BEM）等，其中，有限元法是使用最為廣泛的一種，也是企業在市場競爭中製勝的一個重要工具，因此，在生產中使用有限元分析法可以適應市場對產品瞬息萬變的要求，有助於提高企業的核心競爭力。
1.2有限元法的特點
1.2.1有限元法的優點。有限元法最初是在變分原理的基礎上發展起來的，因此在拉普拉斯方程和泊鬆方程所描述的各類物理場中得到了廣泛應用，之後，一些學者在研究流體力學時，使用最小二乘法以及加權餘數法等也獲得了有限元方程，從而使有限元法的應用範圍得以擴展，能夠應用到任何微分方程描述的各種物理場中。有限元法要優於常規的力學方法，可以對各種各樣的複雜幾何形狀進行模擬，並可以對非均質的工程結構進行分析，求出近似解。有限元軟件基本上都具有較好的前處理和後處理技術，解題步驟呈現係統化、標準化的特點，還能夠迅速用圖形表示計算結果，可以用來對各種複雜材料之間的結構關係、荷載關係以進行分析，並能夠對大量的設計方案進行優化。有限元法的每個單元本身都具有各自的插值函數，因此無需適應於整個結構的插值函數，使數學處理過程更加簡化。
1.2.2有限元法的缺點。雖然有限元法應用於工程科學中具有很大的優勢，但是它依舊存在一些不足之處，包括計算耗時長、消耗資源多、無法很好解決無限求解域問題等。目前最流行的有限元軟件是來自NSYS、ADINA、ABAQUS、MSC四個大公司的軟件產品，它們大多使用了網格自適應技術，但是這個技術還不成熟，因而在軟件的實際應用中，還需要使用者根據自身經驗來進行網和密度的選擇。利用有限元法對工程問題進行分析可以有效解決問題，但是如果使用者本身沒有理解這個工程問題，也就無法為結構模型施加正確的約束和引入正確的邊界條件，也就無法構建出合適的結構模型。
2.有限元法的基本原理
使用有限元法進行分析的第一步是“剖分”，也就是對目標區域進行分割，對其進行離散化操作，使目標區域離散成有限個元素的集合。對於杆係結構來講，離散的單元是每一個杆件，對於連續體來講，離散的單元是各種形狀，進行離散操作時，各個元素的形狀不受限製，可以任意選擇，一般來講，二維問題使用三角形單元或者是矩形單元，三維問題使用四麵體或者是多麵體。單元數量依照所需的計算精度而定，劃分的單元越小，描述就越精確，計算量也會相應增大，因此要綜合考慮計算精度和計算量等因素，采用適當的網格密度。第二步是進行單元特性分析，就是將分割單元的任意點的未知函數都用這個分割單元中的形狀函數以及離散網格點上的函數進行展開，建立一個線性插值函數，也就是進行分片插值。第三步是求解近似變分方程。有限元法將區域離散成有限個單元之後，每個單元的場函數都是隻包含有限個帶定節點參量的簡單場函數，將這些簡單場函數集合起來就能夠近似地代表整個連續體的場函數。根據能量方程等，建立起有限個待定參量的代數方程組，求解這個離散方程組的解就能夠得到有限元法的數值解。