指數函數的威力
美國著名的科學家，避雷針的發明人，本傑明·富蘭克林（Franklin·B，1706～1790）。一生為科學和民主革命而工作，他死後留下的財產隻有一千英鎊。令人驚訝的是，他竟留下了一份分配幾百萬英鎊財產的遺囑！這份有趣的遺囑是這樣寫的：
“……一千英鎊贈給波士頓的居民，如果他們接受了這一千英鎊，那麼這筆錢應該托付給一些挑選出來的公民，他們得把這錢按每年5％的利率借給一些年輕的手工業者去生息。這款子過了100年增加到131000英鎊。我希望，那時候用100000英鎊來建立一所公共建築物，剩下的31000英鎊拿去繼續生息100年。在第二個100年末了，這筆款增加到4061000英鎊，其中1061000英鎊還是由波士頓的居民來支配，而其餘的3000000英鎊讓馬薩諸州的公眾來管理。過此之後，我可不敢多作主張了！”
富蘭克林，留下區區的1000英鎊，竟立了百萬富翁般的遺囑，莫非昏了頭腦？！讓我們按照富蘭克林非凡的設想實際計算一下。請看下表：
從而
數稱為指數函數，其中a約定為大於0且不等於1的常量。
當底a大於1時，指數函數是遞增的，而且越增越快；反之，當底a小於1時，指數函數遞減。讓我們觀察故事中bn=1.05n值的變化，不難算得：
這意味著，上麵的故事中，在頭一個100年末富蘭克林的財產應當增加到
這比富蘭克林遺囑中寫的還多出501英鎊哩！在第二個100年末，他擁有的財產就更多了
可見富蘭克林的遺囑在科學上是站得住腳的！
由此可見，指數函數的威力。
曆史上因此而吃了虧的，也不乏其人，大名鼎鼎的拿破侖就是其中的一位。
公元1797年，當拿破侖參觀國立盧森堡小學的時候，贈送了一束價值三個金路易的玫瑰花，並許諾說，隻要法蘭西共和國存在一天，他將每年送一束價值相等的玫瑰花，以作兩國友誼的象征。此後，由於火與劍的征戰，拿破侖忘卻了這一諾言！當時間的長河向前推進了近一個世紀之後，公元1894年，盧森堡王國鄭重向法蘭西共和國提出了“玫瑰花懸案”要求法國政府在拿破侖的聲譽和1375596法郎的債款中，二者選取其一。這筆高達百萬法郎的巨款，就是三個金路易的本金，以5％的年利率，在97年的指數效應下的產物。這一曆史公案使法國政府陷入極為難堪的局麵，因為隻要法蘭西共和國繼續存在，此案將永無了結的一天！
不過，指數效應更多是積極的方麵。
指數函數不僅在數學、物理、天文上應用極廣，而且在其他自然科學甚至社會科學上也大有用場！以指數規律變化的自然現象和社會現象，有一種極為重要的特性：即量A的變化量△A，總是與量A本身及其變化時間△t成正比
△A A△t
事實上，令???? A=f（t）=at，則
△A=at+△t-at=at（a△t-1）
數學上可以證明，上式右端括號內的量，當變化時間很短時，趨向一個極限K（實際上等於Ina），從而證得：
△A≈KA△t
反過來，數學家也已經證明：如果量A的變化量與它本身及變化時間成正比（比例係數為K），那麼此時必有
A=A0ekt
圓周率π一樣重要的數學常量。