波浪曲線
有一個故事說：從前有座山，山上有座廟，廟裏有個老和尚和一個小和尚。有一天，老和尚對小和尚說：“從前有座山，山上有座廟，廟裏有一個老和尚和一個小和尚，有一天……”無須再寫下去，我想讀者都知道如何繼續這個故事。
在文學家的筆下，對於循環模式的描述，往往是很精采的，但在數學家中，所有出現的事件y，都是時間X的函數
y＝f（x）
而循環模式則表示對於變量X的任何值，存在一個常量T，使得：
f(x+T)=f(x)
這裏的T稱為周期。上式表明，同樣的事件，在經曆了一個周期之後又回到了原先的狀態，周而複始，如此而已！
拿一張紙，把它卷到一根蠟燭上，然後用刀斜著把它切斷，再把卷起的紙展開，那麼你將會看到一個波浪型曲線的截口。讓我們看一看這是怎樣的一條曲線？
如下圖，設圓柱體為蠟燭的一段，底半徑為R，截口中心為S。過S作垂直於圓柱軸線的截麵，與原截口曲線交於兩點。取其中一點0為原點，在過O且與圓柱相切的平麵內建立直角坐標係XOY，使OY為圓柱的一條母線。顯然OX切於圓S。
設想卷在圓柱上且已被切斷的紙是慢慢展開的。令P為截口曲線上一點，Q是它在圓S上的射影，又展開角∠OSQ=α。則
式中θ為斜截麵與圓S平麵的夾角，為一常量。
把上述變量y表示為變量X的函數，即得
原來得到的是振幅為A，頻率為ω的正弦曲線！容易明白，當紙張從O開始，展開一圈又回到O時，完成了一個循環，這一循環的周期T，恰等於圓S的周長，即
後一個式子對於求一般正弦函數的周期是很有用的。
自然界裏正弦曲線是很多的。往水池裏扔一塊石頭，便會看到圓形的水波逐漸向四周擴展；拿一根長繩，抓住其中一頭上下振動，你會看到一個個波浪傳向前方，即使振動的那一頭已經停止動作，已經形成的波形仍會繼續傳向遠處！
在數學家眼裏，上麵的一係列現象稱為波的傳送。數學家們運用自己的智慧，巧妙地把這種運動用函數表示了出來！
下圖是一個弦振動的例。弦起初靜止，t=0時，給它一個初位移。令初始位移函數為 f（x），圖中
而表示圖中波傳播的函數式可以寫為
式中V是波的傳播速度。
值得注意的是，大多數的波未必就是正弦波。例如聲波
就常常具有令人難以置信的複雜波形。
公元 1822年，法國數學家傅立葉（Fourier，1763～1830）證明了任何曲線都可以由正弦曲線疊加而成，他甚至找到了構成疊加的方法。傅立葉的出色工作，使一門近代的數學分支，以他的光輝名字命名！