對稱的啟迪
二百多年前德國九歲的小高斯，以出乎老師意料的速度口算出 1＋ 2＋ 3＋ 4＋…＋ 97＋ 98＋ 99＋ 100＝ 5050。他采用的實際上是對稱的方法。這種方法淵源古老，少說也有幾千年！當人們第一次進行梯形麵積計算時，所用的就是這種方法。
公元1796年，當高斯19歲時，他以其特有的關於對稱的思考，一舉推翻了兩千年來人們關於“邊數為大於5質數的正多邊形，不可能用尺規作出”的猜想。確確實實地找到了正十七邊形的作法。
下表列出了邊數n不超過100，而能用尺規作圖的正多邊形種類，總共24個：
邊數n的形狀
能用尺規作的正n邊形
2m
4,8,16,32,64
2m+1
3,5,17
2mP1P2…Pk
(Pk=22tk+1)
6,12,24,48,96
10,20,40,80
34,68
15,30,60
51
85
圖形的對稱，表現為數學的以下式子：
I:f+(-x)=f+(x)
II:f-(-x)=-f-(x)
滿足Ⅰ式的函數y=f+(x)，稱為偶函數，它的圖象對於OY軸為對稱；滿足Ⅱ式的函數y=f-(x)稱為奇函數，它的圖象對於原點為對稱。
事實上，任何一個圖形都可以看成是一個軸對稱圖形和一個心對稱圖形的疊合！代數語言表述是：任何一個X的函數f（x），都可以表示為一個偶函數f+(x)和一個奇函數f-(x)的和。即
∴f(-x)=f+(-x)+f-(-x)=f+(x)-f-(x)
從而
下圖粗實線所代表的函數f(x)是由虛線所代表的奇函數和細實線所代表的偶函數相加而得。
關於對稱圖形，對稱中心或對稱軸處於一種十分特殊的地位。這種位置在解題中往往起著關鍵的作用。
下麵是一道精采的智力思考題：
A、B是兩根形狀和重量都一樣的條鐵，其中有一根帶有磁性。如果不用這兩根條鐵以外的東西，問怎樣才能辨出哪根是磁鐵？
兩根條鐵放成“T”字型。這種對稱的放置，實際上已經給出了問題的解答。接下去的判定就留給讀者了！
對稱的啟示，常常產生意想不到的效果。請看下麵一例：
某食糖商店天平壞了，商店負責人決定不再零售食糖，不巧此時來了一位顧客，急需一公斤食糖，售貨員急人所難，采用了通融的辦法，把一公斤糖分成兩份來稱。第一次天平的右盤放500克砝碼，左盤放食糖，取平衡；第二次右盤放食糖，左盤放500克砝碼，也取平衡。售貨員想，天平已經不準確了，它的左右臂長不相等，這樣兩次稱出的糖一定有一次比500克多些，而另一次則少些，兩次加在一起，取多補少，大約該是1000克，即1公斤吧！於是，他向顧客收了一公斤食糖的錢。
話說那位顧客可是個喜歡動腦筋的人，當他看到售貨員的動作，心裏便明白了三分，思考片刻後他發話了，說是售貨員少收了錢，所稱食糖不止一公斤！親愛的讀者，你知道這位忠誠的顧客是怎樣作出判斷的嗎？
原來他是根據杠杆原理，由兩次稱量得出兩個對稱的關係式：
∵a≠b
∴W1+W2>1000
不過，讀者如果動腦筋，還能找到更聰明的稱糖辦法。