異曲同工的證法
在初中幾何中，大家已經了解了命題的四種形式：
【原命題】P→Q
【逆命題】Q→P
【否命題】
【逆否命題】
它們之間的聯係是：
原命題是真的，道命題未必也真；否命題是真的，逆否命題未必也真。然而，原命題與逆否命題，逆命題與否命題，它們的真假性卻是一致的。要麼同真，要麼同假。也就是說，原命題與逆否命題等價，否命題與逆命題等價。
在數學上，命題的等價變換常被用來證明一些正麵很難入手的問題，下麵是一個精妙無比的實例。
大家知道，大約在公元前3世紀，古希臘數學家埃拉托色尼（Eratosthenes，公元前274？～前1947）提出了一種編造質數表的方法。這種方法類似於篩東西，把不要的篩掉，把需要的留下來。具體做法是：將從2到N的自然數，按順序排列成2，3，4，5，…，N然後留下第一個2，劃去所有的2的倍數；2之後沒被劃去的第一個數是3，留下3，劃去所有3的倍數；在3後麵沒被劃掉的第一數是5，留下5，劃去所有5的倍數；如此繼續，直至上述一列數中再也沒有可劃的數為止，留下來的便是N以內的一切質數。如上表，64以內的質數共有18個。
可能會有人對這種古老的篩法不屑一顧，那可是大錯而特錯，多少世紀以來，無數優秀的數學家曾經為尋找質數的解析表達式做過大量的工作，但始終沒能獲得成功。困惑人類二個半世紀的哥德巴赫猜想，倘若有了質數的表達式，大約也不會是什麼困難的問題。如今人們所編造出的10億以內的質數表，靠的依然是埃拉托色尼篩法，隻是略加改進而已。
令人詫異的是：公元前1934年，一名年輕的東印度學生辛答拉姆（Sundaram），提出了一種與埃拉托色尼迥然不同的篩法。辛答拉姆首先列出了一張表，表的第一行和第一列都是首項為4，公差為3的等差數列。從第二行開始，以後各行也是等差數列，公差分別為5，7，9，11，13……。
辛答拉姆指出：如果N出現在上表中，則2N＋1是合數；若N不在上表中，則2N＋1是質數。辛答拉姆的證明相當精彩。首先，他寫出了第n行的第一個數4＋（n－1）×3＝3n＋1
注意到該行是公差為2n＋1的等差數列，所以此行第m列的數是：
（3n＋1）＋（m－1）（2n＋1）＝2（m＋1）n＋m
現在設N是表中的第n行第m列的數，則N＝（2m＋1）n＋m
於是
2N＋1＝2［（2m＋1）n＋m］＋1
＝（2m＋3）（2n＋1）
所以是個合數。
再設N不在上表中。要想正麵證明2N＋1不是質數，是相當困難的。如果換成證明等價的逆否命題，即證“若2N＋1不是質數，則N必在表中”似乎要容易得多。事實上，若
2N＋1＝x·y，（x、y為整數）
則因2N＋1為奇數，x、y也必為奇數。不妨設：
x＝2p＋1；y＝2q+1
從而
2N＋l＝（2p＋1）（2q＋1）＝2p（2q＋1）＋（2q＋1）N是表中第p行第q列的數。
綜合上述，我們證明了辛答拉姆篩法的正確性。例如18不在表中，則2×18＋1＝37是質數。相反，71在表中，則2×71＋1＝143是合數，它有因子11和13。
在數學上，有時為了證明命題R的真實性，不是從命題R，而是從它的否命題出發，經過合理的推導，最後引出矛盾，從而得出命題R不能不真。這種常見而有效的證題方法，稱為反證法。反證法一般包含三個步驟：
（1）反設：即否定求證的結論；
（2）歸謬：即推出矛盾。
（3）結論：即肯定原求證結論成立。
反證法常被用於證明唯一性、無理性、無限等問題。對一些直接不易下手，或正麵門類較廣而反麵卻隻有一兩種的情形，也適宜用反證法。在一些問題中，命題以否定的形式出現，並伴有“至少…”、“不都…”、“不能…”、“不是…”、“沒有…”、“都不…”等指示性的詞語，這也從側麵提醒我們嚐試用反證法。辛答拉姆證明的後半部分，實際用的也是反證法。隻是當初是從命題變換角度考慮罷了。
下麵我們看一種有趣的“換色”遊戲，它對於反證法的運用，是一個極好的練習！
在3×3格裏，遊戲者每次可以更換同一行或同一列三個棋子的顏色。白的換成黑，黑的換成白。問能否通過有限次的“換色”？
聰明的讀者在幾次嚐試失敗之後，一定會猜得到結論是否定的。不過，要想證明它，可得花一番腦筋！（解答可見《智力遊戲的間接推理》一節）