數學歸納法的第二種形式
數學歸納法是一種重要的論證方法。它們通常所說的“數學歸納法”大多是指它的第一種形式而言，本文想從最小數原理出發，對它的第二種形式即第二數學歸納法進行粗略的探討，旨在加深對數學歸納法的認識。
第二數學歸納法原理是設有一個與自然數n有關的命題，如果：
（1）當n＝1回時，命題成立；
（2）假設當n≤k時命題成立，則當n＝k－1時，命題也成立。
那麼，命題對於一切自然數n來說都成立。
證明：用反證法證明。
假設命題不是對一切自然數都成立。命N表示使命題不成立的自然數所成的集合，顯然N非空，於是，由最小數原理N中必有最小數m，那麼m≠1，否則將與（1）矛盾。所以m－1是一個自然數。但m是N中的最小數，所以m－1能使命題成立。這就是說，命題對於一切≤m－1自然數都成立，根據（2）可知，m也能使命題成立，這與m是使命題不成立的自然數集N中的最小數矛盾。因此定理獲證。
當然，定理2中的（1），也可以換成n等於某一整數k。
作為第二數學歸納法的應用，舉例如下：
例 有兩堆棋子，數目相等。兩人輪流取走棋子，每人每次可在其中一堆裏任意取走若幹顆，但不能同時在兩堆裏取，且規定取得最後一顆者為勝。求證後取者一定可以獲勝。
證設n為一堆棋子的顆數。
（l）當n＝1時，先取者隻能在一堆中取一顆，這樣另一堆中的一顆就被後取者奪得。所以命題是成立的。
（2）假設當n≤k時，命題是成立的。現在來證明當n＝k＋1時，命題也是成立的。
因為在這種情況下，先取者在一堆中取走2（1≤2≤k＋1）顆，這樣後取者麵臨的兩堆棋子分別為k＋1顆及（k－2＋1）顆，這時後取者可以在較多的一堆中取2顆，於是先取者麵臨的兩堆棋都是（k－2＋1）顆，依歸納假設，後取者獲勝。
根據（1）和（2）可知，對於任意自然數n來證，後取者都可獲勝。
什麼時候需要應用第二數學歸納法？這是很難用一句說清楚的。為此，我們借助上述諸例重新認識一下第二數學歸納法的證明過程。很明顯，對於證明過程的第一個步驟即n＝1（或某個整數a）的情形無需多說，隻需要用n＝1（或某個整數a）直接驗證一下，即可斷定欲證之命題的真偽。所以關鍵在於第二個步驟，即由n≤k到n＝k＋1的驗證過程。事實上，我們不難從例1的第二個步驟的論證過程中發現，證明等式在n＝k＋1時成立是利用了假設條件；等式在n＝k及n＝k－1時均需成立。同樣地，例2也不例外，隻是形式的把n＝k及n＝k－1分別代換成了n＝k－1和n＝k－2。然而例3就不同了，第二個步驟的論證過程，是把論證命題在n＝k＋1時的成立問題轉化為驗證命題在n＝k－2＋1時的成立問題。換言之，使命題在n＝k＋1成立的必要條件是命題在n＝k－2＋1時成立，根據1的取值範圍，而命題在n＝k－k＋1互時成立的實質是命題對一切≤k的自然數n來說都成立。這個條件不是別的，正是第二個步驟中的歸納假設。以上分析表明，假如論證命在n＝k＋1時的真偽時，必須以n取不大於k的兩個或兩個以上乃至全部的自然數時命題的真偽為其論證的依據，則一般選用第二數學歸納法進行論證。之所以這樣，其根本原則在於第二數學歸納法的歸納假設的要求較之第一數學歸納法更強，不僅要求命題在n－k時成立，而且還要求命題對於一切小於k的自然數來說都成立，反過來，能用第一數學歸納法來論證的數學命題，一定也能用第二數學歸納進行證明，這一點是不難理解的。不過一般說來，沒有任何必要這樣做。
第二數學歸納法和第一數學歸納法一樣，也是數學歸納法的一種表達形式，而且可以證明第二數學歸納法和第一數學歸納法是等價的，之所以采用不同的表達形式，旨在更便於我們應用。
和第一數學歸納法一樣，要正確有效的應用第二數學歸納法，也必須注意許多細節問題，至此不再贅述。