“逢二進一”的算術
人類對於司空見慣的東西，總是覺得是天經地義的。孩子們從小就學習“逢二進一”的算術，隨著年齡的增長，和這種數製打交道越來越多。很少有人懷疑並追究這種數製的由來。其實，十進位製源於人類的10個手指。在遠古時代，人們是用扳動手指來計數的，2000年前古羅馬的數字和中國的記數符號，都是由此而起源的。
可以想象，假如在數億年的進化過程中，人類生就的是光禿禿的兩個拳頭，那麼他們所用的數製大約會是“逢二進一”。
桌上放著一打鉛筆，我們會準確無誤地寫出鉛筆的數目為“12”。倘若有誰寫成“1100”，大家都會認為是荒謬的。然而，這卻正是使用“二進位製”的記號。為了今後不至於引起混亂，我們用下標（2）表示進位製下的數。例如；
1100（2）＝1×23＋1×22＋0×21＋0＝8＋4＝12；
10101（2）＝1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1
＝16＝4＋1＝21
上麵幾式的右端，實際表明了怎樣把二進製數化為常用的十進製數。至於怎樣把十進製數化為二進製數，下麵提供的是一種有效的途徑。比如，要把71寫成二進製數。如下式，我們將71除以2，餘數寫在右邊。如果除盡，則寫0。
將商再除以2，重複上述過程，直到商等於1為止。這個1也寫到右邊餘數那列的最下麵，再從下到上寫成一行數，它便是71的二進製數的表示法：
71＝1000lll2
二進製的最大優點是，每個數位都隻有0與互兩種狀態，這使得我們可以通過簡單的方法，例如白與黑、虛與實、負與正、點與劃、小與大、暗與亮等等加以表示。下表所列的是71用二進製的幾種表示方法。當然，二進製也有不足，正如大家看到的那樣，同一個數目在二進製中要比在十進製中位數多得多。也有些問題在古進製中顯得很複雜，但在二進製中卻十分簡單。下麵一則古老而有趣的傳說，頗為生動地體現了這一點：
印度的舍罕王打算重賞國際象棋的發明者宰相西薩·班·達依爾。這位聰明的大臣向國王請求說：“陛下我什麼也不要，隻請您在第一個小格內放一粒米；在第二個小格內放兩粒；第三格放四粒；照這樣下去每一小格內都比前一小格加一倍。把棋盤上64格的米粒都恩賜給我！”
國王慷慨答應了西薩·班·達依爾的要求。他覺得宰相的請示未免過於寒酸。
可是國王很快發現自己的諾言是無法實現的，因為他需要付出的米粒數是：
＝18446744073709551615
這是一個長達20位的天文數字！
最後西薩·班會因為國王無法忍受沒完沒了的債務而丟掉腦袋。
不過，我們要說的是：如果使用二進製，西薩·班所要求的賞賜，隻是一個形式簡單的數字。
讀者想必對小學裏背誦的“九九乘法表”記憶猶新。那是一件十分辛苦而費時的事。然而對於二進製數來說，各種運算規則全都出奇地簡單。任何人在半分鍾之內，都能把它背得滾瓜爛熟：
運算規則可以歸納為八個字：“格式照舊，逢二進一。”利用這一規則，可以很容易地實現二進製數的四則運算。下一位的1＋l。
讀者可以自行設計更多的練習。目前，這種隻有“0”、“1”“兩個數字的二進製係統，已成為計算機最為理想的數字語言。