布爾的命題代數
公元1847年，一位完全靠自學成才的英國數學家布爾（Boole，1815～1864），深刻研究了命題演算如下規律：即當命題A和命題B同時為真時，命題A·B才能為真，特別當A為真時，A·A＝A才能為真。從真假性的意義講，A2與A是等價的，即可寫成A2＝A。布爾先生發現：
×·×＝×2＝×
這是所研究邏輯類演算的特有規律。它不同於普通的代數運算。它決定了邏輯變量隻能取0和1兩個值。布爾解釋道：如果用X表示命題的真值，那麼X＝1表示命題X為真，X＝0表示命題X為假。
利用真值表，很容易驗證“或”、“與”、“非”三種邏輯運算，具有以下基本性質：
（1）“或”運算的基本性質
A＋B＝B＋A（加法交換律）；
A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C（加法結合律）；
A＋0＝A；
A＋1＝1；
A＋A＝A（加法重複律）。
（2）“與”運算的基本性質
A·B＝B·A（乘法交換律）；
A·（B·C）＝（A·B）·C（乘法結合律）；
A·0＝0；
A·1＝A；
A·A＝A（乘法重複律）。
（3）乘法對於加法的分配律
P·（A＋B＋…＋C）＝P·A＋P·B＋…＋P·C。
就這樣，布爾先生創造了一種嶄新的代數係統。這種代數係統，把邏輯思維的規律，歸結為代數演算的過程。從而使邏輯關係的判斷與推理，複雜命題的變換與簡化，終於找到了巧妙而有效的數值化的途徑。例如考慮乘積P·Q·R…·S，這個乘積命題肯定了它的每個分支命題的論斷：如果分支命題都是真的，那麼乘積命題自然也是真的；反過來如果乘積命題是真的，那麼它的每個分支命題也必須是真的。用命題的真值表示，就是：
符號“?”表示等價。同理，若P·Q·R…·S＝0，則在P，Q，R…S之中至少有一個真值為0，反之亦然。
上麵所講的有關命題運算的一些知識，遠非人們想象的那麼枯燥無味和費解，下麵的一些有趣問題，將使你領會布爾先生的代數技術是多麼的有用。
這是一個著名的關於判定誰有罪的智力難題。
已知：若A無罪，則B與c都有罪；
在B與C中必有一人無罪；
要麼A無罪，要麼B有罪。
問：誰有罪？
為了把邏輯推理問題化為命題代數問題，我們用A、B、C分別代表命題“A有罪”、“B有罪”、“C有罪”。依題意得：
上式左端展開後給出：
注意到對於命題X，有
無罪者？
對於含有條件命題的推理問題，上例所用的技巧是具有普遍意義的。下麵曲型的例子，將使你處理這類問題的技巧得到進一步熟練和鞏固。
在一次班級選舉中，小華、小明和小聰都被選為班委。
已知：
如果小華是體育委員，那麼小明就是學習委員；
如果小聰是班長，那麼小華就是學習委員；
如果小華是學習委員，那麼小明就是班長；
如果小明不是體育委員，那麼小聰就是學習委員；
問：各人擔任什麼職務？
這是一個相當困難的智力問題，為敘述方便，我們用A、B、C、代表小華、小明和小聰，而用下標1、2、3分別代表擔任學習委員、體育委員和班長。
依題意得：
上式左端展開後給出
由於不相容的命題不可能同時為真，因此上式左端除第一、三、七項外，其餘各項均為0，即得
化簡得
於是有
最後的推理是因為：若B2＝0，則隻有B1＝1，從而C1＝0這與B2＋C1＝1矛盾。
綜上，我們得到A3＝1，B2＝1，C1＝1。這個結論表明：小華被選為班長，小明被選為體育委員，小聰則被選任學習委員。
親愛的讀者，從上麵的例子你是否已經發現，怎樣用命題代數的技巧來解這一類邏輯難題呢？