第四章
數學論戰
大科學家牛頓，不僅創立了經典力學體係，而且對微積分學的創立作出了不朽的貢獻。
由於微積分在創立初期還不完善，立即遭到了攻擊，由此引發了數學史上著名的第二次數學危機。
第一次危機發生在古希臘時期，是一場由無理數的發現而引起的數學危機。第三次危機發生在20世紀初，是一場由集合論的悖論的發現而引起的數學危機。
第二次數學危機是1734年由英國唯心主義哲學家貝克萊的發難而引起的。
牛頓等科學家的科學成就給上帝帶來了災難，因此正統神學家不斷地尋找機會向自然科學家發出咆哮。英國神學家貝克萊為維護上帝的尊嚴，終於在牛頓的《自然哲學的數學原理》中找到了突破口。
貝克萊抓住了牛頓在無窮小量的表述上的混亂以及在此基礎上運用流數法的矛盾，對流數進行猛烈抨擊。他說：“這些流數是什麼？”“是漸近於零的增量的速度。那麼這些相同的漸近於零的增量又是什麼呢？它們既不是有限量，也不是無窮小量，可也不是虛無。難道可以把它們稱為死去的量的幽靈嗎？”
由於貝克萊在對微積分的攻擊中，揭開了微積分的內在矛盾，微積分陷入理論危機中，由此而引發了第二次數學危機。
牛頓和萊布尼茨雖然發現了微積分的基本原理和主要方法，但對於微積分的基本概念無窮小量，缺乏嚴格的數學定義。時而說無窮小量是零，時而說又不是零；時而說無窮小量消逝為零，時而說又趨向於零，因此缺乏嚴密的數學理論基礎。
貝克萊的攻擊，立即激起一些數學家的反擊。英國數學家朱允就在1734年發表公開的批駁信，並對牛頓的流數作了解釋。
英國另一個著名的數學家馬克勞林也參加了反擊貝克萊的論戰。
1698年2月，馬克勞林生於蘇格蘭，雖然半歲喪父，9歲喪母，卻是一個神童，11歲考入格拉斯哥大學，先學神學，一年後轉攻數學。19歲便擔任阿伯丁大學的數學教授，21歲被選為英國皇家學會會員。
同一年，馬克勞林發表了第一本重要著作《構造幾何》，描述了作圓錐曲線的一些新的方法，精辟地討論了圓錐曲線及高次平麵曲線的種種性質。
馬克勞林對牛頓敬仰備至，是他的忠實信徒，為繼承，捍衛和發展牛頓的學說而奮鬥，為了答複貝克萊對牛頓微積分原理的攻擊，在1742年出版了《流數論》。
此書以泰勒級數作為基本工具，是對牛頓的流數法作出符合邏輯的、係統解釋的第一本書。馬克勞林還企圖為流數法提供一個幾何框架，建立嚴密的微積分理論。
馬克勞林在書中提出了著名的馬克勞林級數，並應用它導出局部極大值和極小值存在的充分條件。還首先給出如何區別一般極大極小的理論，並指出這種區別在曲線多重點理論中的重要性。
他還證明了等速旋轉均勻流體的平衡形狀是旋轉橢圓體，現在稱之為馬克勞林橢圓體。
馬克勞林的《流數論》相當審慎周到，一直是比較嚴密的微積分標準教材，直到1821年法國著名數學家柯西的著作問世。
由於曆史條件的限製，馬克勞林沒有能夠從根本上結束微積分在數學理論基礎方麵發生的危機。
這一危機直到19世紀初由柯西克服。
然而第二次數學危機卻激起數學家們不斷地去探索和研究，回擊貝克萊之流的攻擊，建立科學的微積分數學理論基礎，從而推動了數學的發展。
18世紀的數學大師——歐拉，就是傑出的代表。
“巧定羊圈”的故事
數學大才歐拉因“巧定羊圈”而被數學巨匠約翰·伯努利發現，並在他的影響和培養下，逐漸成長為18世紀數學界的中心人物。
那是在1719年，歐拉才12歲。父親老歐拉準備蓋一個羊圈，用100尺的材料把羊圈住。這一天，老歐拉在丈量土地，小歐拉在一旁幫忙。父子各拉住測繩的一端，當父親把4根角樁打入地下時，小歐拉立即報出了計算結果：
“長40尺，寬10尺，羊圈麵積400平方尺，正好需要籬笆材料100尺。”
“我已經算過了。”
“如果長35尺，寬15尺，羊圈麵積就能擴大125平方尺，不是更好嗎？”
老歐拉沒有想到。
“如果長40尺，寬15尺，羊圈麵積就擴大到600平方尺，可是需要籬笆材料110尺，而我們隻有100尺材料啊。”
怎樣用100尺的材料圍成最大麵積的羊圈呢？小歐拉在認真地想著，老歐拉非常高興兒子有這樣的想象力。
小歐拉終於算出來了，欣喜地告訴父親：“把羊圈的長和寬都定為25尺，就能圍成625平方尺的羊圈。”
小歐拉“巧定羊圈”的故事不脛而走，傳到約翰·伯努利的耳朵裏。這雖然是數學上一個簡單的極值問題，不過年僅12歲的孩子，竟能想出這種方法，確實令人驚奇。約翰憑直覺預感這個聰明的孩子將成為一顆耀眼的數學明星。
非常愛才的約翰親自登門拜訪歐拉和他的父親，當這位德高望重的教授見到歐拉時，這種感覺更加強烈，便要求老歐拉同意他帶小歐拉去巴塞爾大學學習數學。
可是老歐拉不同意：“教授，我希望兒子成為一位神學家，而不是什麼數學家。”
為什麼老歐拉希望兒子成為神學家呢？這話還得從頭說起。
列昂哈德·歐拉於1707年4月15日誕生在瑞士巴塞爾城附近的裏恩村，父親是一位愛好數學的基督教牧師，正因為如此，歐拉7歲時就在同齡孩子羨慕的目光下，被父親送進巴塞爾神學校學習神學。
老歐拉心想，憑著自己在鄰裏的聲望，兒子非常聰明，小歐拉長大後一定能成為教門後起之秀，說不定還能進入羅馬教廷呢！每當想起兒子前程似錦，光宗耀祖，老歐拉心情格外舒暢，神采飛揚。
小歐拉在神學校專心聽課，老師教的聖經，他能夠熟背。聖經中，上帝創造天地萬物，上帝無所不在無所不能的思想，歐拉堅信不疑。當他在課堂上學到了一些知識後，便對自然界充滿信心，同時又困惑不解。比如，天上的星星有多少顆？父親無法回答。
小歐拉便去問老師：“天上的星星總共有多少顆？”
老師非常驚訝，便故作鎮靜地說：“天空中的星星都是上帝親手鑲嵌上去的，具體數目不必要知道。”
“既然上帝親手製作了星星，為什麼記不住它們的數目呢？”
老師茫然。
從此，小歐拉對上帝在信仰上開始動搖了，開始不專心聽課，考試答非所問，頭腦裏總是在想：上帝真是無所不在嗎？上帝的哪裏呢？
神學校哪能容納“叛逆”的學生，不久，歐拉被神學校開除。他絲毫不感到傷心，反而可以無拘無束地思考自己的問題。為了數清天上的星星，歐拉開始學習數學，而且學得津津有味。
正是由於學習數學，歐拉才有智慧去“巧定羊圈”。約翰·伯努利慧眼識英才，懇求老歐拉不要埋沒了孩子的數學天賦，同意兒子學數學。老歐拉感到兒子神學的輝煌前程已成泡影，隻好同意。
1720年，在約翰·伯努利教授的保舉下，年僅13歲的歐拉踏進巴塞爾大學的校門，成為這所大學的學生。歐拉高興萬分，上課時不再像在神學校那樣三心二意了，而是集中精力，勤奮學習，獨立思考。
歐拉的確不負教授厚望，成績突飛猛進，老師在課堂上講授的內容已經不能滿足他的需要了。約翰聽說後非常滿意，特地擠出寶貴的時間為他開小灶，單獨輔導。
歐拉從約翰那裏了解到當時歐洲最新的數學成果，知識和才智日益增長，並很快地進入數學的前沿領域，走上了數學研究的道路。
由於成績特別優秀，15歲時他就在巴塞爾大學畢業了。18歲時，歐拉開始發表數學論文。第二年，也就是1726年，他發表了討論船桅最佳位置的選擇的論文，而榮獲法國科學院的獎金。
1727年，在彼得堡任職的丹尼爾·伯努利的推薦下，歐拉受俄羅斯女皇葉卡特琳娜的聘請，來到彼得堡科學院任院士。開始，他任丹尼爾的助手，1733年丹尼爾回瑞士後，歐拉接任丹尼爾的數學教授席位，成為彼得堡科學院數學部的領導人，直到1741年。
彼得堡的天氣非常寒冷，特別是冬季來臨時，寒風陣陣，飛雪飄飄，就是在屋內也幾多涼意，使歐拉很不適應。彼得堡的工作條件也相當艱苦，歐拉的房裏隻有一張寬大的寫字桌和大量的書籍。
對科學執著追求的歐拉不計較這些，廢寢忘食的進行研究。餓了，就啃幾片麵包；困了，就揉揉眼睛，經常在昏暗的燈光下工作到天亮，又繼續第二天的工作。
長期的工作，過度的勞累，緊張的研究，使歐拉的視力急劇下降，1735年，年僅28歲的歐拉右眼失明。醫生勸說要注意休息，減少用眼睛，不然連左眼也保不住。
要放棄自己熱愛的事業是非常痛苦的，然而繼續堅持研究又將雙目失明，成為睜眼瞎，真是難以兩全。歐拉在這種局麵下，毅然地謝絕了醫生的好心勸說，又投入到研究中。
辛勤的汗水換來了學術上豐碩的成果。歐拉還為俄國政府解決了很多科學難題。他承擔了菲諾運河的改造方案，宮廷排水設施的設計審定。還為俄國政府編寫教材，製定度量衡標準，繪製地圖等等。
1741年，歐拉應普魯士腓特烈大帝的邀請，1766年，受葉卡特琳娜女皇的邀請，重返彼得堡，直到臨終。
歐拉的成果
歐拉的一生，獲得的成果眾多，涉獵的範圍廣泛，包括：幾何、代數、數論、分析、微分方程、變分法、力學、聲學、光學、熱學、天文學、彈道學、航海學、建築學等等。他是複變函數論的先驅者，變分法的奠基人，理論流體力學的創始人。
在微積分方麵，繼牛頓和萊布尼茨提出微積分後，出現了許多數學成果，但聯係不緊，有待整理。歐拉通過《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》等著作，把前人的成果加以總結定型，並注入自己的見解，構成了18世紀微積分的主要內容。
歐拉澄清了函數的概念，基於量的代數關係，給出了函數概念的新定義。他提出一個表示三角函數與指數函數間關係的著名的歐拉公式。指出了如何利用點變函數去計算實積分值。他是複變函數論的先驅者，複變函數論在數學及流體力學中有廣泛的應用。