他研究了二元函數的極值，給出了全微分的可積條件，引出了很多函數的無窮冪級數和無窮乘積的展式。
他首先把導數歸作為微分學的基本概念，提出了二階偏導數的演算，並給出了關於微分後的結果與微分次序無關的理論。他給出了用累計積分計算二重積分的方法，並討論了二重積分的變量替換問題。
在微分方程上，歐拉深入考慮了一般常係數線性微分方程的求解方法，開創了這類方程的現代解法，極大地豐富了誕生不久的微分方程理論。他研究了微分方程的冪級數解法，解決了那些不能用通常積分求解的微分方程。
在變分法的研究中，他給出變分問題的一般解法，奠定了變分法的基礎。
歐拉在微積分方麵，用形式化的函數理論，把微積分從幾何學的束縛中徹底解放出來，使其建立在算術和代數的基礎上，從而為完整實數係統作為微積分學的基本論證打開了通道，把微積分“帶大成人”。
在初等數學領域，歐拉的《無窮小分析引論》是數學史上第一本溝通微積分與初等代數的傑作；《對代數的完整介紹》係統總結了代數學理論，標誌初等代數發展史的基本結束。
歐拉在1735年解決了“哥尼斯堡的七橋問題。”
波羅的海岸邊的哥尼斯堡，是一座古老的城市，它風景秀麗，氣候宜人，建築優美，風俗淳樸。一條河流，穿過市區，形成兩個小島。哥尼斯堡人利用這個天賜的自然條件，把兩個小島打扮成美麗的花園，為城市又添一景。
為了方便人們遊玩，他們造了7座橋，把小島和河岸連接起來。
從此，一對對情侶手挽手、肩並肩去那美麗的小島，促膝談心，竊竊私語，柔情萬千；一隊隊老者去那芳香的花園，欣賞風景，鍛煉身體，延年益壽。
不知是誰提起，哪個人能一次走過7座橋，每座橋隻走一次，還能回到出發點。可是沒有人成功。
從此，哥尼斯堡七橋問題傳開了，吸引了無數的遊客。他們一方麵來欣賞遊玩，一方麵想碰碰自己的運氣，親自走一走，希望找到答案。他們在7座橋上走過來，又走過去，日複一日，年複一年，都失望而歸。
七橋問題成為歐洲聞名的難題。
當歐拉得知七橋問題時，也產生了極大的興趣。他想，既然那麼多人都走不通，是不是不可能存在那樣的走法呢？於是他用“窮舉法”檢查所有的路線，說明他的設想是正確的。
歐拉又進一步地用“位置幾何學”進行了證明。
這一天，哥尼斯堡花園依然遊人如潮，他們歡聲笑語，使小島呈現勃勃生機。很多人還是在橋上走來走去，似乎非要找到正確的答案不可。橋上，有一位從彼得堡來的獨眼青年，向熱衷於七橋問題的人們鄭重宣布：“一個人要一次過7座橋，而每座隻走一次，這是不可能的。”
哥尼斯堡七橋難題，終於解決了。
歐拉對現代數學語言也作出了貢獻，許多常用符號都起源於他。1734年，用f（x）作為函數的記號;1736年，倡導用π表示圓周率，用e表示自然對數的底；1748年，創用了正弦sin，餘弦cos，1753年創用了正切
c記作三角形的邊和A、B、C記作它們的對角，大大簡化了三角公式。
在應用數學方麵，歐拉以微積分為主要數學方法，對力學、光學、聲學、熱學以及多種工程技術進行廣泛的研究，取得了重要的成就。
在力學中，他繼承和發展了丹厄爾的流體力學成就，進一步奠定了流體力學的理論基礎，並以流體力學和船舶力學相結合的論文《論船舶的左右及前後搖晃》於1759年獲巴黎科學院獎金。
他還把數學應用於天文研究，創立了關於月球運動的第二種理論。
歐拉認為一個科學家“如果是做出了給科學寶庫增加財富的發現，而不能坦率闡述那些引導他做出發現的思想，那麼他就沒有給科學做出足夠的工作。”
歐拉是數學上最多產的科學家，他一生中共發表論著500多種，加上他生前沒有發表和出版的手稿，多達800種以上。歐拉逝世後，數學史家把他的著作編成全集出版，竟達72卷。
歐拉的著作，包含了很多開創性的成果，並且在表述上思路清晰，條理性強，富有啟發性。他的行文優美流暢，淋漓盡致地表露了自己的思想和發現。有人讚譽歐拉是“數學界的莎士比亞”。
堅強的意誌
有人可能認為，歐拉成果卓越，著述如林，肯定是條件優越，並且犧牲了生活的所有其他樂趣而換來的。
其實不然。歐拉並沒有像牛頓、萊布尼茨那樣終身未婚，把所有的時間都用在科學研究上。相反，他結了婚，並且有13個孩子，盡量幫助妻子減輕負擔，關心家庭，關心兒女，也和孩子們做遊戲，也給孩子們講故事，他的許多不朽著作都是在膝上坐著孩子、身上背著孩子的情況下寫出來的。
歐拉的研究條件並不優越，反而在生活在道路上連遭不幸。
歐拉非常不適應彼得堡寒冷的天氣，但他具有堅韌的毅力。室外的雪花飄飄揚揚地飛著，室內的歐拉通宵達旦地工作著。過度的勞累，使歐拉染上眼疾，1735年，28歲的歐拉右眼失明。
麵對如此可怕的打擊，歐拉沒有被打倒，而是不顧眼疾，繼續用一隻眼睛進行研究，使得左眼視力很快衰退。但歐拉沒有消沉，他深知自己的左眼將會完全失明，便抓緊最後的時光，加速研究和著書進程。
1766年，厄運終於又向他襲來，左眼也完全喪失了視力。
人們可能認為，雪上加霜的歐拉這下該要停止工作了。古希臘數學家埃拉多色尼就是由於害眼病失明，無法忍受不能讀書不能研究的痛苦，絕食而死。
歐拉呢？
歐拉是堅強的，他認為殘疾隻能給庸人提供懶惰的借口，不會成為堅強者不可逾越的障礙。歐拉活了下來，用最大的毅力戰勝黑暗，用口授和請助手筆錄的方法，堅持研究。
不幸的事接踵而來，1771年彼得堡的大火殃及歐拉的住宅，雖然歐拉被人救出，幸免一死，但是他的書籍和手稿全部化為灰燼。
雙目失明的老人還能經得住這樣沉重的打擊嗎？別人不能，但歐拉能！雙目失明的痛苦已經經過了，既然看不見東西，書籍也就無所謂了，但手稿是科學的財富，一定要把它整理出來。
1776年，愛妻柯黛琳娜病故，歐拉傷心地流下了痛苦的熱淚。
在這些不幸麵前，歐拉擦幹眼淚，頑強拚搏。在雙目失明的17年中，他憑借驚人的記憶力和罕見的心算能力，竟然口述了400篇左右的論文和10餘部著作。其中艱辛，誰人知曉？所付心血，如何計量？
1956年，美國數學家馮·諾伊曼稱歐拉為“數學家之英雄”。
作為一個數學家，歐拉的貢獻是卓著的，美國數學史家克來因說：“沒有一個人像他那樣多產，像他那樣巧妙地把握數學；也沒有一個人能收集和利用代數、幾何、分析的手段去產生那麼多令人欽佩的成果。他是頂呱呱的方法發明家，又是一個熟練的巨匠”。
作為一個普通的人，歐拉的形象更高大。歐拉的品德是高尚的，他在和歐洲眾多學者的通信中，經常毫無保留地把自己的發現告訴別人，為他人的成功創造條件。
歐拉曾考慮過“等周問題”的解法，在即將發表的時候，收到了年僅19歲的法國青年拉格朗日的來信，信中對“等周問題”提出了比較新穎的解法，但沒有達到歐拉的深度。
歐拉把自己的文稿壓下，使拉格朗日的這篇文章得以發表，並在數學界嶄露頭角。後來歐拉又向腓特烈大帝推薦30歲的拉格朗日接替他在柏林科學院物理數學所所長的職務，使拉格朗日才華大展。
歐拉，這位傑出科學家的精神、性格和進取心，贏得了成千上萬的曆代數學工作者的敬仰。
法國數學家拉普拉斯說過：“讀讀歐拉，他是我們大家的老師。”
1783年9月18日，歐拉“停止了生命，也停止了計算”。
哥德巴赫猜想
歐拉是在伯努利家族的直接影響下出現的一位著名的數學家。
哥德巴赫是在伯努利家族直接影響下出現的另一位數學家，他因提出“哥德巴赫猜想”而著名。
哥德巴赫於1690年在德國出生，他並不是從小就對數學感興趣而走上數學研究之路的，曾在英國牛津大學法學係留學。在歐洲各國的旅行過程中，他結識了伯努利家族，被這個家族的輝煌業績所吸引，開始對數學產生興趣，才走上業餘研究數學的道路。
1725年，哥德巴赫作為普魯士的駐外使節出使俄國。歐拉來到俄國彼得堡科學院後，哥德巴赫即前往拜訪，雙方共同探討一些數學問題。
1741年，歐拉離開彼得堡，前往柏林科學院，哥德巴赫留居在莫斯科。兩人為了探討問題，始終保持書信聯係。
歐拉曾與300多名歐洲學者通信，用自己閃光的思想，照耀他人深入探索的道路。哥德巴赫每次來信，歐拉都在百忙中抽出寶貴的時間，對這位俄羅斯的朋友予以回複、商討。哥德巴赫的不少數學成果，都是在與歐拉通信的商討過程中取得的。
1742年6月7日，哥德巴赫在給大數學家歐拉的信中，提出這樣一個猜想：每一個偶數都是兩個素數的和，簡記為：（1十l）；每一個奇數或者是一個素數，或者是三個素數之和。
素數是自然數中除了1和它本身外，並無其他因子的數。這個命題的敘述雖然簡單，舉例也易驗證，例如，4=2＋2；6=3＋3；12=7＋5；100=97＋3等等，但給出一般的證明卻十分困難。
同年6月30日，歐拉就這一問題給哥德巴赫的回信指出，解決這個問題的關鍵在於，充分證明每一個偶數都是兩個素數之和，其他問題可以從這一問題中推導出來。
由於這個問題是哥德巴赫最先以猜想的形式提出來的，後來的數學家把它稱為“哥德巴赫猜想”，或者稱為哥德巴赫——歐拉問題。
哥德巴赫猜想提出後，許多數學家對它進行求解，並創立了一些新的數學方法，取得了一係列新成就，促進了數學的發展。