牛頓革命
牛頓革命不同於我們業已考察過的那些（確實發生了或據說發生了的）科學革命和數學革命，在其一生當中，牛頓一直被認為引起了一場革命。在其《自然哲學的數學原理》中，牛頓導致了微積分革命和力學科學的革命，因此，他受到了與他同時代人的讚賞。牛頓在曆史上獨領風騷，他是一位非凡的人物，因為他在諸多不同領域中做出了如此之多十分重要的貢獻如：純數學和應用數學；光學、及光和顏色的理論；科學儀器的設計；力學理論的整理和編纂以及這一學科基本概念的係統闡述；物理學的主要概念（質量）的發明；新的科學方法論的係統的論述等等。他還對熱、對化學和物質理論、對煉丹術、年代學以及基督教《聖經》的解釋和其他一些問題進行了研究。
牛頓的數學革命分為兩個方麵：微積分的發明（他與萊布尼茲共享此榮），以及數學在物理學和天文學中的應用。正是這後一方麵導致了（相對於其數學革命而言的）科學中的牛頓革命。當然，在牛頓的前輩中，也曾有過一些偉大的人物探索過用數學原理來陳述自然哲學，如西蒙·斯蒂文，伽利略，開普勒，沃利斯，胡克，惠更斯等。從這個意義上講，牛頓革命是（可以追溯到科學革命之初的儲多學者所創造出的成果的頂峰，而不是牛頓的某種全新的創造、把牛頓的《原理》與開普勒的《新天文學》、伽利略的《兩種新科學》、沃利斯的《力學》、胡克有關運動問題的論述、或惠更斯（有關擺鍾的論文裏）關於勻加速運動的論述等作最簡單的比較就可以看出，在深度、範圍和技巧幾個等級方麵，存在著某種不同。正是由於總體規模的猛增，牛頓的《原理》成了“物理學革命”的“新紀元”［正如克雷洛（1714）所說的那樣〕。
時常有人斷言，牛頓把諸如開普勒、側利略或明克等科學家們完全不同的思想或原理彙集在一起，並對它們進行了綜合。然而，很難說牛頓富有革命性的科學就是這些思想的合成或組合，因為實際上，牛頓在其《原理》中把它們的荒謬不實之處披露了出來。“真”科學不可能隻是荒謬不實的思想或原理的產物。牛頓在《原理》中展示的此類錯誤觀點包括：
開普勒：三大行星定律對行星運動的“真實”描述；作用在那些天體上的太陽力隨著距離的增加而減弱，而且隻是在接近黃道平麵處發揮作用。太陽肯定是一個巨大的磁鐵；任一運動的物體由於其“固有的惰性”，一旦動力不再發揮作用，它就會停止運動。
笛卡爾：以太之海運載著行星在巨大的旋渦中到處運動；原子並不（也不可能）存在，真空或虛空也是不存在的。
伽利略：落向地麵的物體的加速度在整個過程中保持不變，即使離開地球落向月球的物體亦是如此；月球對海洋的潮汐運動不可能有任何影響（或成為其原因）。
胡克：作用於一個（具有慣性運動分量的）物體上、遵循平方反比律的同心力，導致了這樣一種軌道運動，即其速度與其到力的中心的距離成反比：這一運動定律與開普勒的麵積定律是一致的。
我們還可以進一步看到，牛頓否定了“離心”力的存在，而這種離心力恰恰是惠更斯運動物理學發展的基礎。牛頓用“向心”力這個概念取代了它們，牛頓之所以選用這個名稱，是因為它與惠更斯的“viscentrifugs（離心力）”有些相似——盡管意義不同且所指方向相反。
把牛頓的《哲學原理》（他常常用這個名稱來指他的著作）與笛卡爾的《哲學原理》加以比較和對照，就會看出牛頓革命的本質。具有批評眼光的讀者會發現，笛卡爾《原理》的一個異常之處就是，它避開數學，而熱中於進行哲學、物理學（或自然哲學）的哲學的研究。在這本書的四個部分中，隻有兩個部分專門討論物理學和宇宙的渦旋體係的發展。笛卡爾確實在這裏提出了碰撞的數量規則，但我們已經知道，在每一個例子中這些規則都是錯的。笛卡爾把這些規則作為一個子集納入了他的第三自然定律之中。不過，當沃利斯在《皇家學會哲學學報》發表正確的規則時，它們有了一個更為嚴格也更為準確的稱謂：“運動定律”。牛頓在其《哲學原理》一開始，就提出了一組定義，隨後是一些“運動的公理或運動定律”，其中前兩條與笛卡爾的自然定律的前兩條大致相當。牛頓似乎把笛卡爾的“regulaequaedamsivelegesnaturae”（“數量規則或自然法則”）轉變成了他的“axiomatasivelegesmolus”（“運動公理或運動法則”）。牛頓的運動三定律和他所歸納的理論力學的公理為：（1）慣性原理：任一物體都將繼續保持其靜止或勻速直線運動的狀態，除非有外力作用於其上；（2）力與其動力效應之間的關係，即一次推動（或相繼產生）的外力會使物體的動量沿外力作用的方向發生變化（對相繼產生的力而言，是指某一單位時間內的變化）；（3）作用力和反作用力相等。
牛頓還把笛卡爾的標題“PrincipiaPhilosophiae〔哲學原理）”改成了“PhilosoPhiaenaturalisprincipiamathematica（自然哲學的數學原理）”，他因此誇耀說，在使原理數學化的過程中，他創立了一門非同一般哲學的自然哲學。牛頓《原理》的數學化特點不僅表現在對這些原理的闡述上，而且還表現在對命題的證明和應用上；它還闡明了一種在自然哲學中使用數學的重要的新的時尚。
牛頓的《原理》在許多方麵都堪稱傑作。它包含了純數學最初的一些成果（極限理論和圓錐截麵幾何學），它發展了動力學的主要概念（質量、動量、力），它整理和編纂了動力學的諸項原理（運動三定律），它還說明了開普勒行星運動的三大定律的動力學意義及伽利略以下實驗結論的動力學意義：重量不同的物體（在地球的同一位置）自由下落時有著相同的加速度和相同的速度。它闡述了曲線運動定律、對擺的運動的分析以及表麵約束運動的本質，它還說明了怎樣處理連續變化的力場中粒子的運動問題。牛頓還指出了分析波的運動的方法，並探討了物體在各種具有阻力的媒介中運動的方式。書的最後一部分亦即第三篇，可謂是全書的頂峰，在這裏，他揭示了受萬有引力、以及一種廣義力的作用（其中一個特別的現象就是眾所周知的地球的重量）製約的牛頓的宇宙體係。牛頓在這部分討論了行星及其衛星的軌道的長度，彗星的運動和運動軌道，以及海洋中潮汐現象的產生等。
不妨考慮一下月球運動明顯的不規則問題，《原理》對這個問題的探討是該書的思想具有新水平的一個實例。在過去的一千五百年間，天文學家們在處理月球運動問題時，總是在構造幾何圖式，而不考慮原因。而現在，牛頓指出，攝動現象是“月行差”的主要根源，而這種攝動則是太陽引力和地球引力對月球的作用的主要結果。隨著1687年《原理》的出版，人們就有可能從第一原理或第一原因開始，通過對結果的研究來處理這一問題。正如《原理》第二版的評論者們注意到的那樣，這是一種全新的處理這類問題的方法。
也許，在所有這些成就中，最偉大的就是對潮汐的解釋，即潮汐是太陽和月亮的引力對海洋的吸引作用導致的。“海洋中的潮漲潮落”，牛頓斷言（bk.3，prop.24），“源於太陽和月亮的作用。”他分析了歲差和月球對地球假定的赤道鼓起區不平衡的吸引作用，以此為基礎，他預言，地球的形狀呈扇圓形；從這裏我們可以看出牛頓所取得的成就的重要意義。
從《原理》所表現出的致力於慣性物理學的研究這一點，一些分析家們可能會看出此書的偉大所在；對於牛頓來講，慣性是質量的一種特性。牛頓是第一位明確區分質量與重量的作者，而且他進一步認識到，物體的質量具有兩種各自獨立彼此不同的方麵。質量是物體阻止被加速或阻止使其運動狀態或靜止狀態發生變化的一種量度；這就是它的慣性。（牛頓有時使用“慣性力”或“visinertiae”這樣的術語—一這種類型的力有別於那種“活動的’功或能產生加速作用的力。）不過，物體的質量同時也可以作為對給定的引力場的一種反應的量度。那麼，在物體對加速作用的（慣性的）阻力與其對某一引力場的（引力的）反應之間為什麼又會有著某種聯係呢？這在經典物理學中是找不到答案的。牛頓獨具慧眼，他認識到，對這種關係的了解必須以實驗為依據，所以，他著手進行實驗以證明慣性與重力之間的這種恒定的關係。然而，隻有在愛因斯坦的相對論中才能看到“慣性”質量與“引力”質量等價的邏輯必然性。愛因斯坦極為佩服牛頓，因為牛頓對這個問題有了如此深刻的見識，而且認識到了，他解釋這種等價關係的理由隻能以實驗為依據。
牛頓《原理》中的數學的本質常常被人誤解。如果隻是泛泛地一頁一項翻著，那就會給人一種印象，即牛頓所使用的數學是幾何學尤其是古希臘的幾何學。其風格似乎是歐幾裏德式或阿波羅尼奧斯式的。然而，更仔細地考慮一下就會發現，牛頓是在用微積分闡述問題，他運用幾何學方法根據不同的比率和比例來陳述各種關係，並且同時，把“極限”看作是一種等於零的（或是初始的）基本量。因此，盡管牛頓沒有詳述他以後係統地運用的微積分（或“流數”）的規則係統，但他的確大量地運用了極限方法，這顯然等價於使用了微積分，或者說，所使用的極限方法可以很容易地轉換成牛頓算法或萊布尼茲算法的符號體係。馬奎斯·德·洛皮塔爾認識到了《原理》的這一方麵，他注意到（正如牛頓得意地提到的那樣），這部書中的數學幾乎全是微積分。對於任何一位細心的讀者來講，在該書第一編第一節對極限理論的闡述中，在第二編第二節明確的流數（牛頓用來表示微分的術語）理論中，這一點表現得更為明顯。此外，《原理》之著名還因為，它最早使用了一些其他的數學方法，例如，無窮級數的廣泛應用。
牛頓的風格
在我看來，從我所謂的“牛頓的風格”中，可以發現牛頓科學革命的本質。從牛頓在《原理》中對開普勒諸定律的討論，就可以很容易地看到這一點。牛頓的討論，始於一種純數學的結構或想象的係統——它並不隻是一個簡化了的自然事件，而是一種在實在的世界中根本不存在的純屬虛構的係統。在這裏，“實在的”這個詞所指的，隻是由實驗和觀察揭示出來的外在世界。在這種係統中，單一的質點圍繞著一個力心運動。牛頓用數學方法指出（bk.1，prop.1），隻要在這一結構或係統中能有一種來自沿軌道運行的質點或粒子的力恒久地指向不動的力心，那麼開普勒的麵積定律（即他的第二定律）就可成立。他接下來證明其逆命題，即如果麵積定律成立，那麼就會有一種向心力或指向中心的力存在。因此，向心力的存在被證明，既是開普勒麵積定律成立的必要條件又是其充分條件。隨後牛頓指出，如果運動軌道呈橢圓形，那麼，向心力必然與距中心的距離的平方成反比。最後他證明，如果在此種力的條件下存在著幾個沿軌道運行的質點，它們彼此沒有相互作用——或者（結果相同）如果把任一給定質點的運動與其在距中心的某一不同距離上的運動相比較——那麼，開普勒第三定律或和諧定律就可成立。順便提一句，我們也許注意到，牛頓在這裏首次指明了開普勒第三條定律中每一條的動力學意義。牛頓的活動在很大程度上構成了純數學的第一個階段。