數學中的樂園
集合論作為數學中最富創造性的偉大成果之一，是在19世紀末由德國的康托爾(G．Cantor，1845～1918)創立起來的。但是，它萌發、孕育的曆史卻源遠流長，至少可追溯到兩千多年前。
集合論是以集合概念為基礎，研究集合的一般性質的數學分支學科。集合作為數學的一個基本而又簡單的初始概念，通常是指按照某種特征或規律結合起來的事物的總體。例如，太陽係所有行星的總體，某圖書館所有藏書的總體，n次代數方程根的總體，自然數的總體以及直線上所有點的總體等等。事物所組成的集合是無限多樣的。按集合中事物的數目是否有限，可把集合分成兩類：有限集合和無限集合。無限集合是集合論研究的主要對象，也是集合論建立的關鍵和難點。集合論的全部曆史都是圍繞它而展開的。
早在集合論創立之前兩千多年，數學家和哲學家們就已經接觸到了大量有關無限的問題。希臘古代的學者最先注意並考察了它們。
例如，公元前5世紀，愛利亞學派的芝諾(Zeno)，在研究運動和時間、空間的關係問題時，提出了一連串的悖論。其中著名的有四個，通常稱為芝諾悖論。這四個悖論中的前三個，就與無限直接有關。它們是：
1．兩分法悖論：一個物體從A地出發，永遠不能到達B地。因為若從A地到達B地，首先要通過A與B之間的道路的一半；但要通過這一半，必須通過這一半的一半，即道路的1/4；而要通過道路的1/4，又必須通過這1/4的一半，即道路的1/8；如此分下去，是永無止境的。芝諾的結論是，物體從A地不能到達B地，因為在有限時間內不能完成上述的無限過程。
2．阿基裏斯追龜悖論：神行太保阿基裏斯追不上他前麵的烏龜。因為當阿基裏斯到達龜的出發點時，龜已經向前走了一段距離；阿基裏斯再通過這一段距離時，龜又向前走了一段距離；這樣下去兩者永遠相距一段距離，所以阿基裏斯總也追不上他前麵的烏龜。
3．飛箭悖論：飛箭在任何瞬時總是處在一個確定的位置，因而在此刻處於靜止狀態。由於無限個靜止的總和還是靜止，所以飛箭是靜止的。
芝諾悖論是針對當時人們對時間和空間的兩種分歧觀點提出來的。一種觀點認為時間和空間具有連續性，因而無限可分；另一種觀點認為時間和空間具有間斷性，是由不可分的要素組成的。前兩個悖論反駁的是第一種觀點，第三個悖論反駁的是第二種觀點。這三個悖論都涉及到了無限集合。在第一個悖論中，如果把A與B的距離看作1，則涉及到無限集合｛1，1/2，1/4，1/8，……｝，在第二個悖論中，如果設阿基裏斯的速度是龜的n倍，龜在前麵a米，則涉及到無限集合｛a，a/n，a/n2，a/n3，……｝；在第三個悖論中，如果設飛箭在第一個瞬刻處於a1點，在第二個瞬刻處於a2點，在第三個瞬刻處於a3點……，則涉及到無限集合｛a1，a2，a3……｝。芝諾在悖論中雖然沒有明確使用無限集合的概念，但問題的實質卻與無限集合有關。在數理哲學上，有兩種無限方式曆來為數學家和哲學家們所關注。一種是無限過程，另一種是無限整體。無限過程是指永遠延伸、永遠完成不了的變程或進程，例如自然數列1，2，3，…n，…。這種進程式的無限稱為潛無限。無限整體是指可以自我完成的無限過程，即把無限本身看作是一個整體，例如自然數全體組成的整體｛1，2，3，…，n，…｝。這種以整體形式出現的無限稱為實無限。亞裏士多德(Aristotle，公元前384～322)，最先提出要把潛無限和實無限區別開。他認為隻存在潛無限，而不承認實無限。他舉例說正整數是潛在無限的，因為任何正整數加上1之後總能得到一個比它大的新數。對他來說，無限集合這個概念是不存在的，因為無限多個事物或要素不能構成一個固定的整體。
亞裏士多德雖在發現新的數學結果上並沒有什麼突出的貢獻，但他對數學本性所發表的各種看法卻對後人影響很大。他對無限集合的否定態度，如同下了一道禁令，束縛後來的數學家長達兩千多年。以至在客觀上延誤了對無限集合的充分研究。例如，拜占庭的普羅克拉斯(Proclus，410～485)是歐幾裏得《幾何原本》的著名評述者。他在研究直徑分圓問題時注意到，一根直徑分圓成兩部分，兩根直徑分圓成四部分，n根直徑分圓成2n部分。由於直徑有無窮多根，所以相應地必有兩倍那麼多的圓部分。換句話說，由直徑數目組成的無限集合｛1，2，3，4，n…｝，與所分成的圓部分的數目組成的無限集合｛2，4，6，…，2n，…｝，在元素上存在著一一對應的關係。這實質上已經涉及到了無限集合的一個基本特征：部分和它的整體可以建立起元素之間的一一對應關係。而這種關係的存在正是後來集合論賴以建立的基礎。由於受亞裏士多德潛無限觀點的影響，普羅克拉斯不肯承認無限集合的存在，而是對這種對應關係采取了回避的態度。他說：任何人隻能說很大很大數目的直徑和圓部分，不能說實實在在地無窮多的直徑和圓部分。