事實是不依賴於人的意向為轉移的客觀現象，它們不會因人們認識上的落後而被長期掩蓋。到了中世紀，隨著無限集合的不斷出現，部分能夠同整體構成一一對應這個事實也就越來越明顯地暴露出來。例如，數學家們注意到，把兩個同心圓上的點用公共半徑聯起來，就構成兩個圓上的點之間的一一對應關係。因為對於大圓上的任意一點A，通過公共半徑，總可找到小圓上的一點A′與它對應；反之，對於小圓上的任何一點B′，通過公共半徑，總可找到大圓上的一點B與它對應。伽利略(G.Galileo，1564～1642)曾注意到類似的事實。他在1638年的《關於力學和局部運動兩種新科學的對話和數學證據》一書中指出，兩個不等長的線段上的點，可構成一一對應關係；他又注意到，正整數集合｛1，2，3，…，n…｝可以和正整數的平方集合｛1，22，32，…，n2，…｝構成一一對應關係。伽利略同樣由於受傳統有限集合觀念和亞裏士多德潛無限思想的束縛而沒能正視這些事實，最後以“不合常識”為由否定了自己的發現。在科學中常常發生這樣的現象，一個新的事實雖然反複地出現在人們的麵前，卻長期找不到它的發現者。無限集合就是這樣的一個科學事實。甚至到了19世紀上半葉，絕大多數數學家還不肯承認無限集合及其特殊屬性的存在。他們自由地使用著無窮小、無窮大和無窮級數，運用著自然數集、有理數集、無理數集以及實數集，毫無顧忌地說到直線上或平麵上的任意點，但卻回避對無限集合進行任何認真的討論。就連負有“數學之王”盛名的高斯(K．F．Gauss，1777～1855)也不同意把無限集合作為數學的對象來加以研究。他在1831年7月12日給朋友舒馬赫(Schumacher)的信中說道：“我反對把一個無窮量當作實體，這在數學中是從來不允許的。無窮隻是一種說話的方式，當人們確切地說到極限時，是指某些比值可以任意近地趨近它，而另一些則允許沒有界限地增加”。對分析學的奠基工作有過突出貢獻的柯西（A．L．Cauchy，1789～1857），雖曾給出有名的極限定義（即ε—δ定義），並對無窮級數有過深入的研究，但對無限集合，他卻如同他的前人一樣，不肯承認它們的存在。他認為，部分可以同整體構成一一對應關係，不過是一種邏輯矛盾。
科學家們接觸到了無限，卻又無力去把握和認識它，這實在是向人類智慧的尖銳挑戰。對此，著名數學家希爾伯特(D．Hilbert，1862～1943)曾深有感觸地說道：沒有任何問題能像無限那樣，從來就深深地觸動著人們的感情；沒有任何觀念能像無限那樣，曾如此卓有成效地激勵著人們的智慧；也沒有任何概念能像無限那樣，是如此迫切地需要予以澄清。為維護人類智慧的尊嚴，麵對“無限”的長期挑戰，數學家們是不會漠然置之的。他們為解決無限問題而進行的努力，首先是從集合論的先驅者開始的。