集合論的醞釀和創立
縱觀科學的曆史，大凡一門科學理論在其創立之前，總是要有人充當它的先驅者。這些先驅者們的見解雖然往往並不完美，甚至含有漏洞和缺陷，但他們的工作對於新理論的建立卻是十分必要的。對於無限集合，最先洞察到它的重大意義，並沿著建立明確理論方向采取積極步驟的人，是捷克數學家波爾察諾(B．Bolzano，1781～1848)。
波爾察諾是最先明確承認並堅決維護無限集合概念的。他強調部分和整體能夠建立起元素之間的一一對應關係，是無限集合的一個本質特征。他把這種對應關係稱為等價關係。為說明這種等價關係的真實存在，他舉出了大量事例。例如，在實數集[0，5]和實數集[0，12]之間可以
元素，y為[0，12]的相應的元素。波爾察諾作為布拉格大學宗教哲學教授，對於無限集合的研究，其哲學意義比數學意義體現得還多。他提出和強調了有關無限集合的某些重要概念和思想，但也存在許多模糊的認識。例如他提出超限數概念，然而對這一概念的理解卻是不正確的，甚至錯誤地認為，對於超限數無需建立運算，因而不必去研究它。波爾察諾的無限集合思想，在他生前沒有得到學術界的重視。他的重要著作《無窮的悖論》在死後兩年（1850年）才發表出來。
在波爾察諾那裏萌發起來的集合論思想，是在康托爾手中孕育成一門數學理論的。康托爾曾就學於蘇黎世大學、格丁根大學、法蘭克福大學和柏林大學，深受柏林大學數學教授魏爾斯特拉斯(K．Weierstass，1815～1897)的影響。後來他成為哈勒大學教授，一直到去世為止都在那裏工作。康托爾在曆史上以創立集合論而一舉成名。他解決了曆代數學家所未能解決的無限集合問題中的難點，並且顛倒了許多前人的想法。他的集合論思想分散在許多文章中，這些文章主要是在1872年到1897年間相繼發表的。他的1872年關於三角級數的論文，可作為集合論誕生前的準備工作。在這篇論文中，他首次定義和使用了集合論的某些重要概念，如集合的極限點、導集、第一型集等。1874年，他在《克列爾雜誌》上以標題《論所有實代數數集合的一個性質》，較全麵地闡發了他的無限集合思想。這篇革命性論文的發表，可作為集合論誕生的重要標誌。
康托爾稱集合(set)為一些確定的、不同的東西的總體，對於這個總體，人們能判斷任何一個給定的東西是否屬於它。他尖銳地批評了那些隻承認潛無限的人，駁斥了以往數學家和哲學家反對實無限的錯誤論點。在他看來，如果一個集合能夠和它的一部分構成一一對應，它就是無限集合。他區別了兩種性質不同的集合：可列集和具有連續統的勢的集。可列集是指那些能和正整數集構成一一對應的集合，如有理數集和代數數集；具有連續統的勢的集則是指與實數區間[0，1]等價的集，如無理數集和實數集。早在1873年他就有了這種區別。1873年11月，他在給數學家戴德金(J．Dedekind，1831～1916)的信中說道，他已經知道有理數是可列的(enumerable)，但對於實數集合是否可列，他還不能給出定論。幾個星期後他成功地解決了這個問題。1873年12月7日，他寫信告訴戴德金，他已證得實數集是不可列的。戴德金回信祝賀康托爾取得成功。康托爾的這項工作對於集合論的創立有著決定性的意義，因為集合論的許多原理都與可列集或具有連續統的勢的集有關。