康托爾在取得最初的成功之後，就去嚐試解決一些新的、更大膽的問題：一條直線上的點和整個Rn（n維空間）中的點的對應關係。他在1874年1月5日寫給戴德金的信中指出：一塊曲麵（比如說，一個包括邊界在內的正方形）是否能夠和一段直線（比如說，包括兩個端點在內的一個直線段）一一對應起來，使得對於曲麵上每一點都有直線上一個對應點？反之，對於直線上每一點，都有曲麵上一個對應點？我想，回答這個問題並不是件容易事，盡管答案似乎顯然是否定的，以至於證明看來幾乎不必要。
康托爾原以為問題的答案是否定的，即直線上的點不可能和整個Rx中的點構成一一對應關係。可是，經過三年的嚐試，他得到的答案卻是肯定的。1877年6月20日，他寫信告訴戴德金，他已證得這樣的對應關係是存在的。他說：“我看到了它，但我簡直不能相信它。”
在創立集合論的過程中，康托爾還引進了基數、序數、超限基數、超限序數等概念，並且規定了它們的運算。基數（也稱勢）是集合論的基本概念之一。它是對集合的元素在數量上的一種刻劃。兩個一一對應的集合具有相同的基數。對於有限集合，基數就是這集合中元素的個數；對於無限集合，康托爾引進了一個全新的提法。他用符號x（讀作阿列夫零）表示自然數集的基數，用符號C表示實數集的基數。由於可列集與自然數集有一一對應的關係，所以它們的基數均為x；同樣，與實數集有一一對應關係的不可列集的基數均為C，字母C是連續統（Continuum）的第一個字母。x和C有著特殊的運算性質：nx=x，n為自然數；xx=x；nc=cn為自然數；cc=c；nx=c，n為自然數；並且C和x有關係C＞x。基數、序數等概念描述了無限在層次上的質的區別，因而它們的建立是人類對無限集合認識上的一次重大飛躍。這正如數學家古茨莫在1915年慶祝康托爾七十壽辰時所說的，康托爾用這些數給數學開辟了一塊“新地盤”。這塊新地盤，就是以無限集合為主要研究對象的集合論。