康托爾的遭遇
在今天，如果我們打開一本現代的數學論著，總可以讀到與“集合”相關的一些內容，甚至在小學的算術和中學的數學中都已滲透了集合的思想。可是，在一百年前集合論卻遲遲登不上數學的舞台，它的創立者也因之長期陷入窘境。為全麵認識集合論創立的曆史，我們不能不追溯一下康托爾在創立集合論過程中所經受的不尋常的遭遇。
美國現代數學史家M.克萊因(M.Kline)在評述集合論創立時期的狀況時寫道：康托爾的集合論是在這樣一個領域中的一個大膽的步伐。這個領域，我們已經提過，從希臘時代起就曾斷斷續續地被考慮過。集合論需要嚴格地運用純理性的論證，需要肯定勢愈來愈高的無限集合的存在，這都不是人的直觀所能掌握的。這些思想遠比前人曾經引進過的想法更革命化，要它不遭到反對那倒是一個奇跡。反對的意見確實是聳人聽聞的。康托爾的1874年的論文一問世，便遭到當時保守傳統的數學家們的激烈反對。其中反對得最激烈的是他的老師、柏林大學數學教授克隆尼克(L.Kronecker，1823～1891)。克隆尼克在數學史上以直覺主義派的代表人物而著稱。他認為數學的對象必須是可構造出來的，而不可用有限步驟構造出來的都是可疑的，不應作為數學的對象。他反對無理數和連續函數的理論，認為它們是不可構造的，因而是不存在的。同樣，他指責康托爾的集合論和超限數理論不是數學而是神秘主義。他曾連篇累牘地攻擊著名數學家魏爾斯特拉斯的無理數理論，以至弄得後者幾乎老淚縱橫。這一次，他對康托爾的粗暴攻擊竟長達十幾年之久。康托爾於1870年二十五歲時就被任命為哈勒大學副教授，1879年提升為該校的教授。在當時，哈勒大學在德國隻算得上二、三流的大學。康托爾希望得到柏林大學教授的職位，而且自信有能力勝任，但由於一直遭到克隆尼克的百般阻撓，終生未能實現自己的心願。在克隆尼克的連續攻擊下，容易激動和神經過敏的康托爾經受不住刺激而身體垮了。從1884年起，他就不時地患著嚴重的抑鬱病，常常住到療養院裏。1918年1月6日，他在哈勒大學附屬精神病院去世。
在當時，對集合論持有否定態度的有影響的數學家並不在少數，就連F.克萊因（F．Klein，1849～1925）、彭加勒(J．Poincare，1854～1912)和魏爾（H.Weyl，1885～1955)這樣富有創見的大數學家也沒能給康托爾的工作以任何支持。彭加勒把集合論比喻為“病態數學”，並且預測說：“後一代將把集合論當作一種疾病，而人們已經從中恢複過來了。”魏爾則稱康托爾關於基數x的等級是“霧上之霧”。
對於反對者的意見，康托爾是有所預料的。他雖然在精神上因經受不住攻擊而常常受到折磨，甚至在疾病強烈發作時感到自己所幹的工作是無聊的，但他在強烈發作過去後，頭腦總是十分清醒的。他曾自述道：“我的集合論研究的描述已經達到了這樣的地步，它的繼續已經依賴於把實的正整數擴展到現在的範圍之外。這個擴展所采取的方向，就我所知，至今還沒有人注意過。”“我對於數的概念的這一擴展依賴到這樣的程度，沒有它我簡直不能自如地朝著集合論前進的方向邁進那怕是一小步。我希望在這樣的情形下，把一些看起來是奇怪的思想引進我的論證中是可以理解的，或者，如果有必要的話，是可以諒解的。實際上，其目的在於擴展或推廣實的整數序列到無窮大以外。雖然這可能顯得是大膽的，我卻不僅希望而且相信，到了適當時機，這個擴展將被承認是十分簡單、適宜而又自然的一步。但我仍是十分清楚，在采取這樣一步後，我把自己放到了關於無窮大的流行的觀點以及關於數的性質的公認的意見的對立麵去了”。康托爾的信念是堅定的，他始終相信，實無限“既具體地又抽象地”存在著。對此，他寫道：“這種觀點，我認為是唯一正確的，隻有少數人才有。隻要有可能，我在曆史上就是第一個人十分明確地站在這個立場上，並接受其全部邏輯結論，我確切地知道我不會後繼無人！”康托爾為無窮集合論的生存和發展奮鬥了終生，就是在其患病期間，每當病情緩解時，他仍然堅持以書信的方式與G.皮亞諾(G．Peano，1858～1932)等人討論集合論的有關問題。人們常常看見他出入學術討論會並熱情洋溢地講述自己的觀點。他有句名言：“數學的本質在於它的自由性”。在無限集合麵前，在傳統數學觀念統治著絕大多數數學家的時代，他就是采取了非常自由的思想方式。當死抱舊思想的人對他的工作加以責難時，他說出了上麵那句名言。