獨到的，才是不可替代的
專題
作者：陳金飛
【摘要】HPM研究表明，個體的認識過程與人類的認識過程基本是一致的。在“圓的麵積”的教學中融入數學史，可以把教材中呈現的素材以知識發生、發展過程的視角進行合理重組，放大“無限分割、化曲為直”極限思想的首次獲得過程，促進學生理解數學本質，領會數學思想，獲得數學感悟。
【關鍵詞】HPM；圓的麵積；無限分割；化曲為直
【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）17-0016-02
【作者簡介】陳金飛，江蘇省啟東市實驗小學（江蘇啟東，226200）副校長，高級教師，南通市學科帶頭人。
一、課前慎思
我們選擇“圓的麵積”的教學作為HPM研究的案例，不僅因為圓是小學階段唯一的曲線平麵圖形，更在於人類對“圓的麵積”的探索曾被認為是理性追求的巔峰。
翻開數學史可以看到，隨著生產勞動的需要，人類很早就開始探索平麵圖形的麵積計算方法。在古希臘，人們最先發現正方形的麵積計算公式。由此想到，既然正方形的麵積可以用公式計算，那麼隻要做出一個正方形，使它的麵積恰好等於圓的麵積，就能實現“化圓為方”。著名辯士、詩人安提豐首創圓內接正多邊形的方法來解決“化圓為方”的問題。數學家阿基米德分別用邊數不斷增多的圓內接正多邊形和外切正多邊形逼近圓的周長，給出了圓的麵積計算公式：圓的麵積等於以圓周長為底、半徑為高的三角形的麵積。
阿基米德提出的圓的麵積計算辦法，相當於我國漢代數學名著《九章算術》中記載的“半圓半徑相乘，得積步”，即圓的麵積等於半圓的周長乘半徑。我國魏晉時期數學家劉徽從圓內接正六邊形開始割圓，得到一個正6×2n邊形序列（n=0、1、2……），所得正多邊形的麵積越來越接近圓的麵積。而古印度數學家把圓切成許多小瓣，把這些小瓣對接成一個近似平行四邊形，再通過分割平移將平行四邊形轉化為一個近似的長方形，用近似長方形的麵積代替圓的麵積。
17世紀，德國天文學家開普勒受切西瓜的啟發，提出把圓分割成無窮多個小扇形，他認為每個小扇形的麵積對應一個小三角形的麵積，圓的麵積等於無窮多個小三角形麵積之和，將這些小三角形等麵積變形，最後，構成一個大直角三角形，三角形的底就是圓的周長，三角形的高就是圓的半徑，開普勒引入無窮小的概念，跨越了曲與直的直覺理解界限，使得多邊形和圓之間、無窮小麵積與直線之間沒有顯著的差別。無限分割、化曲為直的獨到思想溝通了有限與無限，為極限、微積分等現代數學的出現打下了理論與實踐的基礎。
梳理至此，可以發現早在兩千多年前，人們就已經掌握了圓的麵積計算方法，不斷變化的是圓的麵積計算公式的推導方法——從有限分割到無限分割，再到利用定積分的方法。在曆史長河中，在數學科學發展的大背景中，看清“無限分割、化曲為直”才是對學生後續學習數學來說最具有價值的，也是我們最應該在教學中孕伏的。
二、教學片段
1.呈現數學困境，引發矛盾，積蓄思維突破能量。
師：你打算用什麼方法研究圓的麵積？
生：我覺得應該用轉化，如果用數方格的方法，會有一些方格直接露在外麵，不能精確地計算圓的麵積。
師：通過比較，我們發現如果圓的邊線變直了，測量就更方便、精確了。明白了這一點，接下來咱們就來想辦法把曲線變成直線吧。（板書：化曲為直）
師：有什麼辦法可以把圓這個曲線圖形轉化為直線圖形呢？
（四人小組一起動手操作，展示交流。）
師：這麼多種轉化方法，你覺得可以分成幾類？