曆史啟示我們……
專題
作者：吳振亞 蔡宏聖
【摘要】數學史不僅是曆史的知識，也是思考問題的厚實背景。對照曆史，數學教育要吸引學生思考，並讓學生充分享受思維的高峰體驗。“先學後教、以學論教”不能把對新知的探索變成對新知的驗證，要根據教學內容的不同情況合理使用，給予學生數學發現、數學創新的機會。
【關鍵詞】數學史；數學思考；高峰體驗；先學後教；創新
【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）17-0018-02
【作者簡介】1.吳振亞，江蘇省太倉市實驗小學（江蘇太倉，215400），太倉市學科帶頭人；2.蔡宏聖，江蘇省啟東市中小學教師研修中心（江蘇啟東，226200）小學教研室主任，正高級教師，江蘇省數學特級教師。
如果說哲學研究的是世界上一切事物的最普遍規律，那麼，數學哲學研究的就是數學發生和發展的最普遍規律。關於數學史與數學哲學之間的關係，康德有句廣為流傳的名言：數學史一旦缺少了數學哲學的引導，便是盲目的；至於數學哲學，要是對數學史中最引人遐想的現象不理不睬，那麼，它便是空洞的。數學領域的最高智慧——數學哲學研究都需要從數學史中汲取營養，那數學教育憑什麼拒絕數學史呢？限於篇幅，本文選取數學課改中的兩個問題，看看數學史能給予我們什麼啟示。
一、數學憑什麼吸引學生？
2002年8月在北京舉行國際數學家大會期間，陳省身先生為以“走進美妙的數學花園”為主題的中國青少年數學論壇分別題詞“走進美妙的數學花園”和“數學好玩”。特別是“數學好玩”的錚錚教誨，凝聚著一代數學大師自身學習、研究數學的切身體會，在某種意義上也揭示了數學潛在的某種特質。
說起“好玩”，大家都會想到遊戲。大多數成年人都有過玩遊戲的經曆和體會。回顧這些體驗，一個好玩的遊戲，首先應該容易入手，能很快玩起來；其次是有點小難度，隨著玩法的熟練，不斷有匹配你能力的新進階等著你去挑戰。在數學裏也有遊戲，比如七巧板、華容道、九連環等。七巧板，在國際上被稱為“唐圖”。拿破侖在滑鐵盧兵敗被流放之後，常玩七巧板消遣。為什麼他沒有感到厭倦？因為七巧板能拚成成千上萬種圖案。中國科學院院士張景中教授主編有《好玩的數學》科普叢書，其中吳鶴齡先生編著的《七巧板、九連環和華容道——中國古典智力遊戲三絕》一書，剖析了三個經典遊戲背後的數學道理，玩智力遊戲的本質是玩數學。
數學知識源於人類的生產勞動，但數學科學卻源於古希臘人的理性思辨。相傳，古希臘的第一個賢哲泰勒斯從古埃及那裏繼承提出了4個幾何命題的一般形式，並設法證明了“等腰三角形底角相等”。公元前387年，柏拉圖建立了自己的學院，門口赫然豎立著“不懂幾何者禁入”的警示牌，能進入學院聚在一起討論交流的已不可能有真正意義上的勞動者，大家在陽光下、草地上溫文爾雅地討論的也不是一個數學結論能直接解決生產生活中的哪個問題，而是如何賦予一個數學結論以邏輯性。歐幾裏得和他的《幾何原本》是人類曆史上第一個理論形態的科學，這個史實至少可以說明柏拉圖和他的弟子們實際上並沒有做出更多的名堂，但重要的是柏拉圖開創了從經驗幾何提升為證明幾何的裏程碑。在這個過程中，吸引人的已經不是數學的使用價值，而是純粹的智力樂趣。因而，英國數學家哈代說：“激勵數學家做研究的主要動力是智力上的好奇心，是謎團吸引力。”陳省身先生說“數學好玩”，正是對數學發展這一特質的凝聚，也是其自身在學習和研究數學的過程中感悟到的哲理。先生在天津扶輪中學求學時，樂此不疲地尋找弦切角定理的多種證明方法，寫就《一個幾何定理的十六個證明》一文，刊登於校刊《扶輪》上，享受的便是思考的樂趣。
綜上所述，數學就其客觀意義，本身無“好玩”之說，而學習者建立起“好玩”的主觀感受，總結起來不外乎兩條：其一是簡單有趣，能讓參與者很快入境；其二是別有洞天，能讓參與者欲罷不能。不少人覺得數學難，所以不愛學數學，實際上這是表麵現象。數學能讓一部分人終身追隨，不是因為它簡單，恰恰是因為它有點難。因此，不愛學數學的問題本質在於：麵前的數學對他們來說，“難”得不合適。如果要解決的問題就像跳一跳就能摘到的果子，那麼他們就不會計較跳一跳的努力，反而會因為跳一跳更難以忘懷那果子的鮮美！