一道高中數學競賽題目的推廣
教學方法與經驗研討
作者：董正武
摘 要：在《奧林匹克數學中的代數問題》一書中有如下一道題：T為坐標平麵上所有整點的集合（橫，縱坐標都是整數的點稱為整點），如果兩個整點（x，y），（u，v）滿足|x-u|+|y-v|=1則稱這兩個點為相鄰點。證明：存在集合ST，使得每個點P∈T在P與P的相鄰點中恰好有一個屬於。筆者先將題目中的“整點”這一條件推廣到平麵上的任意點，然後將平麵上的結論類比到三維空間上，最後推廣到n維空間上，得到類似的結論。
關鍵詞：整點；相鄰點；類比；推廣
推廣1：T為坐標平麵上所有整點的集合（橫，縱坐標都是整數的點稱為整點），如果兩個整點（x，y），（u，v）滿足|x-u|+|y-v|=1則稱這兩個點為相鄰點。證明：存在集合，使得每個點P∈T在P與P的相鄰點中恰好有一個屬於S。
類比1：T為三維空間中所有整點的集合（橫，縱，豎坐標都是整數的點稱為整點），如果兩個整點（x，y，z），（u，v，w）滿足|x-u|+|y-v|+|z-w|=1則稱這兩個點為相鄰點.證明：存在集合ST，使得每個點P∈T在P與P的相鄰點中恰好有一個屬於S。
類比2：T為三維空間中點的集合，如果兩個點（x，y，z），（u，v，w）滿足|x-u|，|y-v|，|z-w|中恰有兩個為0，有一個為1，則稱這兩個點為相鄰點。證明：存在集合ST，使得每個點P∈T在P與P的相鄰點中恰好有一個屬於S。
推廣2：T為n維空間中所有整點的集合（所有n個坐標都是整數的點稱為整點），如果兩個整點（x1，x2，…，xn），（y1，y2，…，yn）滿足|x1-y1|+|x2-y2|+…+|xn-yn|=1則稱這兩個點為相鄰點.證明：存在集合ST，使得每個點P∈T在P與P的相鄰點中恰好有一個屬於S。
證明：對n維空間中的整點A（x1，x2，…，xn），令Li1=（x1，x2，…，xi-1，xi+1，xi+1，…xn），Li-1=（x1，x2，…，xi-1，xi-1，xi+1，…xn）.於是A的相鄰點為Lij（j=1，i=1，2，…，n）.
對任意（x1，x2，…，xn）∈T，定義f（x1，x2，…，xn）=nx1+（n-1）x2+…+2xn-1+xn，則f：T→Z為T到整數集的映射。
容易證明2n+1個數f（Lij）（j=1，i=1，2，…，n），f（A）中恰有一個被2n+1整除.若令S={（x1，x2，…，xn）∈T|f（（x1，x2，…，xn）mod（）2n+1=0}則S滿足要求。
推廣3：T為n維空間中點的集合，如果兩個點（x1，x2，…，xn），（y1，y2，…，yn）滿足|x1-y1|+|x2-y2|+…+|xn-yn|中隻有一個為1，其餘都為0，則稱這兩個點為相鄰點.證明：存在集合ST，使得每個點P∈T在P與P的相鄰點中恰好有一個屬於S。
證明：對n維空間中的點A（x1，x2，…，xn），令Li1=（x1，x2，…，xi-1，xi+1，xi+1，…xn），Li-1=（x1，x2，…，xi-1，xi-1，xi+1，…xn）.於是A的相鄰點為Lij（j=1，i=1，2，…，n）。
對任意（x1，x2，…，xn）∈T，定義f（x1，x2，…，xn）=n[x1]+（n-1）[x2]+…+2[xn-1]+[xn]，則f：T→Z為T到整數集的映射。
容易證明2n+1個數f（Lij）（j=1，i=1，2，…，n），f（A）中恰有一個被2n+1整除.若令S={（x1，x2，…，xn）∈T|f（（x1，x2，…，xn）mod（）2n+1=0}則S滿足要求。
參考文獻：
[1]沈文選.奧林匹克數學中的代數問題[M].湖南：湖南大學出版社，2009.