基於GARCH模型的殘差控製圖在股票收益波動分析中的應用研究
經濟論壇
作者：胡於勤 曹鐵軍 龔楠
摘要：在受控過程中，經常出現自相關性和波動簇聚性並存的特征，這違反了常規控製圖的獨立性假定。一般情況下采用的修正方法都是運用ARMA模型表示質量過程，用自相關模型及其殘差圖解決自相關問題。本文嚐試運用GARCH類模型及其殘差控製圖來解決控製過程中出現的波動簇聚問題。並以美國股票市場中的IBM股票為例進行簡單的實證分析。通過對其日收益率序列進行建模，從而評判該類型殘差控製圖的有效性。結果表明：控製圖在含有相關性和波動性的受控過程中同樣有效，其預警作用也比較顯著。
關鍵詞：GARCH類模型殘差控製圖股票日收益率
一、引言及文獻綜述
質量控製圖是現代質量管理中使用最為廣泛的方法和工具，具有至關重要的作用。對於經典控製圖而言，其主要有休哈特控製圖、在此基礎上形成的CUSUM與EWMA控製圖。然而，常規控製圖理論基礎是受控過程中應當服從獨立同分布之假定。實踐中我們可以看到，多數受控過程都存在自相關性，或者存在顯著的波動簇聚性。尤其在金融領域中，金融時間序列數據大多數存在相關性和波動性。因此，一般認為，傳統的控製圖是不能運用在金融領域的監測應用。
為了解決此類問題，許多學者對此作了研究。例如，由Alwan（1988）所提出的針對受控過程中存在自相關問題，建立ARIMA模型，通過殘差控製圖對受控過程進行監控。其設計機理為利用時間序列模型擬合自相關過程，擬合之後形成的殘差序列，通常被成為是相互獨立的，可采用常規控製網。又或者改良傳統控製圖，使之同樣可以應用到具有相關性的受控過程中去。Bagshaw（1975）和Yashchin（1993）等提出並發展的修正CUSUM控製圖， Schmid（1997）等探討的修正EWMA控製圖等。上述是基於受控過程的自相關性，調整常規控製圖控製線，但關於監控具有波動性的受控過程的研究顯得比較滯後。其原因之一可能在一般的質量管理過程中很少出現方差變動（波動）的狀況。而控製圖的應用也主要在工業，醫學等領域應用，沒有過多的存在相關性和波動性的受控過程。在這方麵的研究中，Severin與Schipper先後提出、應用受控過程條件標準差，以取代無條件的標準差。在此基礎上，國內學者也對該類問題有所研究。夏遠強，韓秀文將GARCH模型納入自相關質量過程控製圖，通過分析研究，提出了一種名為GARCH的模型控製圖。隨後，侯雅文，王斌會也將GARCH型控製圖應用在彙率市場預警監控上，結果說明此類控製圖能夠較好的檢測出宏觀因素所致的彙率市場波動性。
本文在綜合參照各位學者關於GARCH類控製圖的觀點及意見，力圖將質量管理過程中的殘差控製圖方法運用到金融領域方麵來，並以美國股票市場中的IBM股票為例進行簡單的實證分析。通過對其日收益率序列進行建模分析，並對殘差序列建立控製圖，從控製圖中判斷股票在此監控期間存在的各類特殊情況，以此說明控製圖在含有相關性和波動性的受控過程中同樣有效，其預警作用也比較顯著。
二、數據預處理及來源說明
相較於美國股市的成熟性，本文中選取了美國IBM股票2005年1月到2012年12月的收盤數據作為樣本。在剔除停牌時間內數據後共收集到2013個數據，分別以每日收盤價計算它們的對數收益率rt如下：
其中，分別表示IBM在t和t-1天的指數值，rt表示第t天的對數收益率。以p代表IBM的每日收盤價，對指數取對數記作：lnp，對數一階差分（收益率）記作：r。
本文中的數據均來源於雅虎金融，分析工具為SAS9.1.3、EVIEWS6.0。
三、實證分析過程
（一）GARCH型過程及殘差控製圖模型
一般情況下，自回歸異方差模型（GARCH）為
式中，為受控過程中監測序列，為在給定前期信息集的情況下，的條件均值（其中可以包含表示質量環境的變量，如係統因素等），為白噪聲序列，服從正態分布，且相互獨立。的方差具有時變性為模型參數。
的數學期望為；
條件方差為。
對於無相關過程、以及ARIMA型等相關過程而言，各時刻方差均可視為無條件方差，也就是說方差值一直是某一個常數。實踐中可以看到，將控製線與無條件方差聯係在一起具有一定的合理性。然而GARCH型自相關過程中的各個時刻條件方差，與無條件方差之間卻不能劃等號，且隨時間在變動。故控製圖的控製線采用無條件方差是不合理的。