考慮微觀結構噪聲的積分波動估計量
商界論壇
作者：郭溪發
作者簡介：郭溪發（1990-），男，漢族，福建龍海人，碩士研究生，福州大學經濟與管理學院，研究方向：風險管理。
摘要：金融資產的波動率度量對於資產風險管理、投資組合以及衍生產品定價都十分重要，本文從極差的角度入手，考慮微觀結構噪聲的影響，運用蒙特卡羅模擬的方法得出經過微觀結構噪聲糾偏的已實現極差三冪次變差的有效性。
關鍵詞：高頻數據；已實現極差三冪次變差；微觀結構噪聲
一、引言
波動率的度量是金融風險研究的重要內容之一，準確地對波動率進行估計，對金融資產的風險管理，投資組合配置，衍生產品定價等方麵有著非常重要的意義。Anderson、Bollerslev（2001）提出了基於高頻數據的已實現波動（RV）作為二次變差的一致估計量，並從理論上證明在沒有跳躍和微觀結構噪聲的情況下，已實現波動是積分波動的一致估計量。Christensen、Podolskij（2007）和Martin Martens、Dick van Dijk（2007）分別提出了基於價格極差的已實現極差波動（RRV）。已實現極差波動利用了整個價格過程的極差，在信息利用方麵顯然比已實現波動更有效率，在理想的情況下（連續交易、無市場摩擦），已實現極差波動的有效性是已實現波動的5倍。
然而，在跳躍擴散假設條件下，RRV不再是二次變差的一致估計量。因此很多學者研究了在跳躍擴散假設條件下RRV的性質，並提出了基於極差的跳躍穩健型估計量。主要的理論成果是Christensen、Podolskij等提出的已實現極差雙冪次變差和多冪次變差理論。已實現極差多冪次變差雖然對有限活動的跳躍是穩健的，卻沒有考慮到微觀結構噪聲的影響。因此本文擬對跳躍穩健型的波動估計量加以改進，消除微觀結構噪聲的影響，進一步提高波動估計的準確性。
二、理論基礎
（一）已實現極差波動
假設資產對數價格p（t）是半鞅過程，一般的跳躍-擴散過程可以寫成如下的形式：
pt=p0+∫t0μudu+∫t0σudWu+∑Nti=1Ji（3-1）
其中，μ=（μt）t≥0是局部有界的漂移函數，σ=（σt）t≥0是嚴格正的左極限右連續的隨機波動過程，W=（Wt）t≥0是標準的布朗運動，N=（Nt）t≥0是有限活動的計數過程，J={Ji}i=1，…，Nt是一係列非零的隨機變量。
當價格過程不含跳躍時，跳躍擴散過程就退化成如下的擴散過程：
pt=p0+∫t0μudu+∫t0σudWu（3-2）
在沒有考慮跳躍的情況下，Christensen、Podolskij（2007）提出了以價格極差為基礎的已實現極差波動。記等抽樣間隔的價格改變量為：
SpiΔ，Δ，m=max0≤s，t≤m{pi-1n+tN-pi-1n+sN}
則RRVn，mb=1λ2，m∑ni=1S2piΔ，Δ，m
其中，λr，m=E（SrW，m）為標準布朗運動極差的r階矩，
SW，m=maxs，t=0，1，…，m（Wt/m-Ws/m）表示標準布朗運動極差，
RRVn，mb表示在有跳躍的情況下是有偏差的。
（二）已實現極差多冪次變差
Christensen、Podolskij（2012）提出了已實現極差多冪次變差，定義如下：
RMVn，m（q1，…，qk）=nn-k+1nq+/2-1∑n-k+1i=1∏kj=1Sqjp（i+j-1）Δ，Δ，mλqj，m
其中，q+=∑kj=1qj，λqj，m=E（SqjW，m）
Christensen、Podolskij（2012）證明了在價格過程服從布朗半鞅的假設下，當抽樣頻率趨於無窮大時：
RMVn，m（q1，…，qk）p∫10σuq+du
同時滿足如下的中心極限定理：
n（RMVn，m（q1，…，qk）-∫10σuq+du）dsMN（0，Λm（q1，…，qk）∫10σu2q+du）
其中，Λm（q1，…，qk）=∏kj=1λ2qj，m-（2k-1）∏kj=1λ2qj，m+2∑k-1h=1∏hj=1λqj，m∏kj=k-h+1λqj，m∏k-hj=1λqj+qj+h，m∏kj=1λ2qj，m
關於跳躍穩健的積分波動估計量的選擇，隨著冪次的增加，估計量對跳躍更加穩健，然而在沒有跳躍時則會損失一定的效率為代價，因此從實際的觀點來看，本文選取已實現極差三冪次變差（RTV）作為跳躍穩健的積分波動估計量。
三、微觀結構噪聲
在高頻數據環境下，微觀結構噪聲是所有引發實際價格偏離均衡價格的各種市場微觀結構因素的總稱，包括買賣價差、不連續交易、交易者信息不對稱導致的價格偏離等等。由於微觀結構噪聲的存在會使得估計出的波動率產生偏差，因此在采用高頻數據對波動率進行估計時，首先應該剔除微觀結構噪聲的影響。糾偏除噪方法成為微觀結構噪聲影響下的金融波動率研究的主流。
（一）微觀結構噪聲的基本假設
一般的觀測價格過程Yt包含了有效價格過程Xt和微觀結構噪聲εt，即