撲朔迷離的“回文數猜想”
“回文”是文學中的一種修辭方法，指寫成的句子前後兩個字相同，就像“回”到了以前一般，因此稱為回文。回文句正讀倒讀都可念，而且都可以讀得通。這是文學中比較有趣的一種現象。但是這種現象在數學中也存在，我們稱之為“回文數”比如121，101等等，指正讀倒讀都是同一個數。更有趣的是，人們在尋找回文數的時候發現，把任意一個兩位以上自然數倒過來相加都能得到一個回文數。這就是著名的“回數猜想”。但是這個規則是不是放之四海而皆準呢？目前仍然沒有人能證明。因此這是一個數學上著名的未解之謎。前麵提到過哲學和數學相通的問題，但是數學和文學同樣也有相通的現象，這聽起來似乎令人覺得不可思議。但是的確存在，“回文”就是其中一例。傳說，古代有一個秀才遊桂林的鬥雞山，覺得山名有趣，信口說出一句話：“鬥雞山上山雞鬥。”他想把這句話作為上聯來對一副對聯，可是下聯自己也對不上來。回家後便請教自己的老師，老師想了一下說：“我不久前遊覽了龍隱洞，就以此給你對個下聯。”老師念道：“龍隱洞中洞隱龍。”對得很巧。這是一副回文對聯。古代詩人王融曾寫過一首著名的回文詩：“風朝拂錦幔，月曉照蓮池。”反過來讀：“池蓮照曉月，幔錦拂朝風。”不管怎樣讀，都是一首詩。有趣的是，數學家族裏的主要成員數中也有回文的，你看數101，正著讀倒著讀都是101；再看32123，正著讀倒著讀都是32123。這種正反讀都一樣的數很多，數學家給它們起了一個特殊的名字——回文式數，簡稱回文數。圍繞著對回文數的研究，數學家們發現，有的回文數不老實，不是明明白白地站在數字的隊伍裏，而是隱藏在其他數裏，經過特殊變換以後才顯露真容。比如83，它不是回文數，將它與其倒數相加，83+38=121，就變成了回文數121。經過多次驗算，數學家提出了一個猜想：任取一個自然數，把它倒過來與原數相加，然後把這個和數再與它的倒數相加，一直重複這個運算，最後總能得到一個回文數。數學家把這個猜想叫做“回數猜想”。請看：83：83+38=121，經過1步運算就能得到回文數121；68：68+86=154，154+451=605，605+506=1111，1111是回文數，隻需3步運算就能得到；195=195+591=786，786+687=1473，1473+3741=5214，5214+4125=9339，要運算4步，得到的回文數是9339。是不是所有數經過上述運算都能產生回文數？也就是說，回數猜想是對的還是錯的？這個問題至今沒有解決。最初，人們是一個數一個數地去驗算。當有人對196進行上述運算時，算了5萬步，所處理的數已達到21000位，仍沒有獲得回文數。人們就猜測，也許196永遠也變不成回文數。如果真的是這樣，那麼“回數猜想”就是錯誤的。然而，不管你算了多少步，這種運算總沒到頭，沒到頭就不能否定，要否定必須給出足夠的理由。後來，人們又發現，在10萬個自然數中，有5996個數，不管運算多久，似乎也產生不出回文數，196就是其中最小的一個。但是，不管怎樣運算，就是沒有人能找出它們產生不了回文數的確鑿證據來。所以隻能用含糊的詞“似乎”來表述。此路不通。一些數學家就采取另外的方法來研究。他們對既是質數又是回文數的數進行了特別的研究，一方麵想看看這些數有什麼特性或規律，另一方麵也想從中找出證明回數猜想的蛛絲馬跡。通過研究，數學家發現了一些有特殊性質的回文質數。比如19391，把它的5個數字寫在一個圓周上，你從其中任一個數開始，不管是順時針寫還是逆時針寫，寫出來的5位數都是質數。這種回文質數很少。數學家還發現回文質數除11外必須有奇數個數字。因為每個有偶數個數字的回文數，必然是11的倍數，所以它肯定不是質數。比如125521是一個有6位數字的回文數。判斷能被11整除的方法是：一個數所有偶數位數字之和與所有奇數位數字之和的差是11的倍數，那麼這個數就能被11整除。125521的奇數位數字是1、5、2，而偶數數字是2、5、1，而偶數位數字是2、2、1，它們和的差是：（2+5+1）-（1+5+2）=0是11的倍數，所以125521可以被11整除，它不是質數。有些回文數相乘之後，所得乘積還是回文數。例如212X141=29892。這樣的例子還不少：11X11=121，22×22=484，111X 111=12321，111X 121=13431，111X131=14541，121X212=25652。在回文數中平方數是非常多的，比如121=112，12321=1112，1234321=11112……一直到12345678987654321=1111111112。你隨意找一些回文數就會發現，平方數所占的比例比較大。立方數也有類似情況。比如1311=113，1367631=1113等等。對回文質數的研究雖然取得了一些成績，發現了一些特性，但是用它們也不能證明“回數猜想”。“回數猜想”證明不出來，卻沒有擋住數學家想象的馳騁。他們又大膽地猜想：回文質數有無窮多個；回文質數對（中間的數字是連續的，而其他數字都相等，如30103和30203）也有無窮多對。但是也沒有人能證明這些猜想是對的。撲朔迷離的回文質數又給數學家們出了一個難題。回文數無論在文學還是數學中都是一個有趣而奇特的現象。雖然關於它的奧秘，還沒有完全解開，但是它們的存在向人們證實了，自然界永遠有神秘的現象等待人們去揭示。