他幼年時就表現出超人的數學天才。18歲他進入格丁根大學學習，大學的第一年發明二次互反律，第二年又得出正十七邊形的尺規作圖法，並給出可用尺規作出的正多邊形的條件，解決了兩千年來懸而未決的難題。22歲時因證明代數基本定理而獲博士學位。
高斯的數學成就遍及各個領域，在數論、代數學、非歐幾裏得幾何、微分幾何、超幾何級數、複變函數論以及橢圓函數論等方麵均有一係列開創性貢獻。高斯的數論研究總結在1801年出版的《算術研究》中，這本書奠定了近代數論的基礎，它不僅是數論方麵的劃時代之作，也是數學史上不可多得的經典著作之一。高斯對代數學的重要貢獻是證明了代數基本定理。
西方近代的數學傳入中國
1840年的鴉片戰爭以後，西方近代數學開始傳入中國。首先是英國人在上海設立墨海書館，介紹西方數學。第二次鴉片戰爭後的“洋務運動”中，中國數學工作者和外國學者一起翻譯了一批近代數學著作。其中較重要的有李善蘭與偉烈亞力翻譯的《幾何原本》後9卷、《代數學》、《代微積拾級》；華蘅芳與英國人傅蘭雅合譯的《代數術》、《微積溯源》、《決疑數學》；鄒立文與狄考文編譯的《形學備旨》、《代數備旨》、《筆算數學》；謝洪賚與潘慎文合譯的《代形合參》，《八線備旨》等等。其中，《代微積抬級》是中國第一部微積分學譯本，《代數學》是英國數學家德·摩根所著，是一部重要的符號代數學譯本，《決疑數學》是第一部概率論譯本。
戊戌變法（1898）以後，各地興辦新法學校，上述一些著作便成為主要教科書。在翻譯西方數學著作的同時，中國學者也進行一些研究，寫出一些著作，較重要的有李善蘭的《尖錐變法解》、《考數根法》；夏鸞翔的《洞方術圖解》、《致曲術》、《致曲圖解》等等，都是會通中西學術思想的研究成果。
由於傳人的近代數學需要一個消化吸收的過程，加上清末統治者十分腐敗，內憂外患使清政府焦頭爛額，無暇顧及數學研究，直到1919年五四運動以後近代數學的研究才真正開始。
中國近代科學的先驅李善蘭
李善蘭（1811～1882）是中國清代數學家、天文學家、翻譯家和教育家，近代科學的先驅。
1852～1859年，李善蘭在上海墨海書館與英國傳教士、漢學家偉烈亞力等人合作翻譯了大量西方近代科學著作，為近代科學在中國的傳播和發展作出了開創性的貢獻。1860年起，他與化學家徐壽、數學家華蘅芳等人一起，積極參與洋務運動中的科技學術活動。1868年，李善蘭被薦任北京同文館天文算學總教習直至逝世，從事數學近代誕生的立體化學直接推動了整個化學領域的發展。教育十餘年，培養了一大批數學人才，是中國近代數學教育的鼻祖。
李善蘭在數學研究方麵的成就，主要有尖錐術、垛積術和素數論三項。他創立的“尖錐”概念，是一種處理代數問題的幾何模型。垛積術理論主要見於《垛積比類》，是李善蘭從研究中國傳統的垛積問題入手，獲得的一些相當於現代組合數學中的成果，其中馳名中外的“李善蘭恒等式”，自20世紀30年代以來，受到國際數學界的普遍關注和讚賞。可以認為，《垛積比類》是早期組合論的傑作。素數論主要見於《考數根法》，這是中國素數論方麵最早的著作。在判別一個自然數是否為素數時，李善蘭證明了著名的費馬素數定理，並指出了它的逆定理不真。
化學
在近代自然科學革命中，天文學、醫學和物理學等領域的新學說從根本上動搖了神學的基礎。這時自然科學逐步從哲學中分化出來，形成了分別研究某一類自然現象和運動形式的分支學科。
化學也是如此，它強調理論與實踐的統一，對種種見解、學說以及理論，要求通過實驗加以檢驗。這就促使化學研究進入了實驗室，並與生產實踐緊密聯係，創造了一整套的研究方法。
這一時期，最早的化學基本定律出現了，電化學、分析化學、有機化學開始興起，無機化學開始走向係統化，有機合成化學也開始興起，物理化學也在19世紀末期建立起來。