19世紀後半葉，因為力學、物理學以及數學自身的發展，代數處理的對象越來越多地涉及到矩陣、旋量、劉維爾發現了伽羅華的數學成就，促進了群論的誕生。上圖為劉維爾的手跡。超複數等用字母表示的量，這些對象需要加減，甚至乘除運算，然而不同的量有不同的運算規則。於是從群論觀點出發，內容豐富的抽象代數理論出現了，形成了諸如“域論”、“環論”、“群論”、“格論”（結構論）等新的數學分支，以及在此基礎上概括出來的關於代數體係一般理論的“泛代數論”。另一方麵，抽象代數又與數學其他分支結合，開拓出如“拓撲代數”、“微分代數”、“幾何代數”和“序代數結合理論”等等一大批邊緣學科。這些理論在一些新興學科中得到了應用。
由於各種代數係統和分支理論的形成，大大擴展了代數領域。代數所研究的內容經過從“字母運算學”、“解方程理論”到“用字母表示的代數係統的運算學”三個發展過程，形成了高度抽象的近世代數理論。
非歐幾何
非歐幾何的建立
近代幾何學是從高斯、羅巴切夫斯基等人對歐幾裏得的《幾何原本》第五公設即平行公設的證明開始的。自從托勒密企電腦繪製的黎曼最小表麵。圖證明這一公設以來，一直未取得進展。近代初期，勒讓德、拉格朗日、達蘭貝爾等人都曾試圖證明平行公設，但都歸於失敗。
高斯突破了傳統證明方法，提出了非歐幾何的有關思想。1826年2月23日，德國數學家羅巴切夫斯基在喀山大學公開聲明歐氏第五公設是不可證明的，並提出用另一條相反定理來代替它，即“過直線外的一點至少有兩條直線與已知直線平行”。羅巴切夫斯基通過邏輯推理，得出了一係列與歐氏幾何完全不同的結果。如兩條平行線之間的距離處處不等，三角形三內角之和小於180度。同一條直線的斜率和垂線不一定相交等等。與此同時，匈牙利數學家鮑耶也獨立地創立了非歐幾何。鮑耶鑒於自己的失敗教訓，一再告誡他的兒子停止這項工作。但是小鮑耶的努力成功了。非歐幾何的建立突破了人們傳統的平直空間觀念，引起了幾何學的一場革命。
歐幾裏得《幾何原本》的希臘文手抄本。非歐幾何的發展
繼羅巴切夫斯基以後，德國數學家黎曼進一步發展了非歐幾何。1854年，他提出了著名的“黎曼幾何”思想。黎曼幾何引進了兩條公理：（1）凡直線都能相交；（2）直線不能無限延長，用以代替歐氏幾何的有關直線公理，從而推導出另一個非歐幾何體係。在黎曼幾何中，過直線外的一點可以作已知直線的無數條垂線。三角形三內角之和大於180度，等等。黎曼幾何對於大尺度空間有著重要意義。歐式幾何、羅氏幾何和黎曼幾何分別描述了不同的時空範圍，歐式幾何可以看作非歐幾何在小尺度範圍的近似。
非歐幾何的誕生，開拓了一個新的幾何領域。由此而來的各種新的幾何空間不斷出現，這些理論在力學、物理學，特別是相對論中發揮了重要作用。
多產數學家歐拉
歐拉（1707～1783）是偉大的瑞士數學家及自然科學家。歐拉出生於牧師家庭，而他對數學最感興趣。1727年，歐拉應邀到俄國，在俄國的14年中，他在分析學、數論和力學方麵做了大量出色的工作。但大量的寫作卻使他在1735年右眼失明。1741年，他又應邀到柏林科學院工作達25年之久。歐拉這個時期在微分方程，曲麵微分幾何以及其他數學領域的研究都是開創性的。1771年，歐拉的左眼也完全失明。然而由於他驚人的記憶力和心算技巧使他的創造力繼續得到發揮，直至生命的最後一刻。
歐拉是18世紀數學界最傑出的人物之一，他不但在數學上做出偉大貢獻，而且把數學應用到幾乎整個物理領域。他又是一個無與倫比的多產作者，他寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法的課本，《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》都成為數學中的經典著作。
歐拉最大貢獻是擴展了微積分的領域，為分析學的一些重要分支與微分幾何的產生和發展奠定了基礎。歐拉對數學的研究非常廣泛，因此在許多數學的分支中也可經常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理。
“數學之王”高斯
高斯（1777～1855）與牛頓和阿基米德被譽為有史以來的三大數學家。高斯是近代數學奠基者之一，在曆史上影響之大，可以與阿基米德、牛頓與歐拉並列，有“數學之王”之稱。