探析幾何分類討論常見的解題思路
教研探索
作者：韓金龍
初中數學中的分類討論問題往往是學生不容易掌握好的一類問題，學生碰到此類問題常常是不知道要進行分類討論或者知道了要分類討論而無從入手，造成解答此類問題時得分率偏低，分類討論問題在研究幾何問題時，由於圖形的變化（圖形位置不確定或形狀不確定）引起幾何問題結果有多種可能，就需要分類討論，在這裏對常見的幾種情況進行歸納：
一、高.
由於三角形的高可在三角形的內部、外部或與邊重合，所以在解決問題時常常將三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。
例1為了美化環境，計劃在小區內用120m的草皮鋪設一塊一邊長為20的等腰三角形綠地，請求出這個三角形的另兩條邊長.
分析：由題中已知一邊長20m的等腰三角形，可分為底邊長為20m或腰長為20m兩種情況，由底邊長為20m和麵積為120m可求得底邊上的高為12m，進而求得兩腰長都為2m，由腰長為20m和麵積為120m分析時難度較大，需考慮將三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，直角三角形的情況不成立，由此可得到另外兩種情況來研究.
二、截圖問題：題型相對簡單，考查知識點為相似三角形的性質及相似三角形對應高的比等於相似比等.常見題型有：
1直角三角形內截矩形。例2為了節省資金，小明的爺爺將一塊兩直角邊長分別為30cm和40cm的直角三角形廢鏡片割成一塊長與寬的比為3﹕2的小長方形鏡片，為小明做了一個精美的小鏡子，（要求長方形的各個頂點均在直角三角形的邊上），請你計算一下長方形鏡片的長與寬各為多少厘米？
分析：本題不僅要考慮矩形的兩邊分別在直角三角形的直角邊和斜邊上，還要考慮已知條件長與寬的比為3﹕2，由此得到四種情況的圖形。
2.矩形內截等腰三角形。例3矩形ABCD中，AB=8，BC=25，點O在BC邊上，BO=7，點M在線段OC上且OM=8，以OM為一邊作等腰△OMP，使點P在矩形的一邊上，求AP的長.
3.梯形內截等腰三角形。例4有一底角為60°的直角梯形，上底長為10cm，與底垂直的腰長為10cm，以上底或與底垂直的腰為一邊作三角形，使三角形的另一邊長為15 cm ，第三個頂點落在下底上，請計算所作的三角形的麵積.
在解題時，我抓住畫圖是解題的關鍵這一特點，讓學生掌握內部截等邊三角形時分別以現有圖形的各邊為作等邊三角形，內部截正方形時分別以直角邊和斜邊為邊作正方形，內部截等腰梯形時要考慮它的軸對稱性分別在邊和對角線上研究.
三.外拚問題：
1.等邊三角形外拚等腰三角形。例5張大爺家的耕地為四邊形ABCD，∠BAD=105°，AB=20m，若張大爺沿對角線AC把地分給兩個兒子，其中耕地△ABC恰好為等邊三角形，另一塊耕地△ADC恰好為等腰三角形，求耕地△ADC的麵積.
分析：本題的關鍵是要學生掌握從△ADC為等腰三角形這一條線出發，可得AC=AD、AC=CD、AD=CD這三種情況，由∠BAD=105°可得∠CAD=45°，所以畫出來三個圖形都是等腰直角三角形，因此我要求學生畫圖盡量標準，這樣在解題過程中才能避免失誤。