總之，愛因斯坦對於狹義相對論的局限性是很清醒的，並且從美學的基點出發，希望物理學徹底擺脫仍在苟延的特殊參考係。他開始著手他的廣義相對論，去解決這更困難的問題，即給出物理學更概括的係統描述，這種描述對所有的觀測者都適用，不論他們的相對運動狀態如何。難怪，隻有用比狹義相對論複雜得多的時間和空間關係，才能得到這種描述。確實，廣義相對論的推導需要應用陌生的數學工具張量計算。愛因斯坦為此費了多年心血，直到1915年才完成他的論文準備發表。正如他在這期間所說：“每走一步都是極其困難的。”
當廣義相對論最後完成的時候，這個理論同時給出了一個漂亮的而且相當完美的引力理論。如果我們重新再考察飛船裏的宇航員，就可以知道，為什麼他不能說出他經受的是引力還是加速度。當飛船在空間中加速的時候，他也不能確定，他的磅秤顯示的是引力的作用還是他自己的慣性物體反抗運動變化的一種性質。愛因斯坦認識到了這一點，這使他在1907年提出了一條新的基本原理“等效原理”，他強調說，這條原理適用於整個物理學。實際上這條原理斷言，引力和加速度是等效的。
等效原理至少有兩種說法。其一，即“弱”等效原理，可以回溯到伽裏略和他的比薩斜塔實驗，這個實驗在傳奇文學中被描寫得很生動。伽裏略發現，所有物體都以同樣的加速度朝地球下落（在忽略空氣阻力的情況下）。等效原理表明，用相對論的觀點，我們也可以說是地球在加速向上而物體保持靜止，這樣，顯然所有的物體的加速度就必須保持相同了。這一直頗為神秘的難題，直到1914年愛因斯坦發表了他的論文，才被解釋清楚。這篇論文說明，一個均勻的引力場完全等效於一個適當的加速度，對在任何實驗室進行的實驗，結果都是如此。等效原理還說明，狹義相對論是一個純粹局部的理論：沒有一個實際的觀測者不在經受加速度，因為我們的宇宙是被引力統治著，宇宙物質以恒星、行星等形式散布在整個宇宙裏麵。等效原理的第二種說法，即“強”等效原理，是愛因斯坦主張的，它認為所有的物理規律，對於宇宙中任何地方、任何時刻的所有觀測者都是相同的，不管運動的情況和引力如何。對愛因斯坦來說，這個原理使他能夠離開狹義相對論，而進入一個關於宇宙的理論，這一理論必須超越基於狹義相對論的局部描述。
通往廣義相對論之路
為了創立廣義相對論，愛因斯坦經曆了八年艱辛、專心致誌的努力。在此期間，新見解不斷在他頭腦中閃現，同時他也一次又一次地走進死胡同。直到最後，一個嶄新的、閃耀著智慧光輝的理論終於出現了。1909年7月初，愛因斯坦辭去了他在伯爾尼專利局的工作，去蘇黎士大學做教授。這是他在其後五年中得到的幾個教授職位的第一個。
從1907年底到1911年中，愛因斯坦對有關引力的課題一直保持沉默。雖然他仍然在花費很多時間思考這個問題，但是剛剛誕生的量子理論（我們將在下一章討論這個理論）使他也用去了不少時間。雖然愛因斯坦已經對這個新誕生的理論作出了重大的貢獻，但在這個時期，它仍然占據著他的心思，並且在他此後的一生中，一直是使他憂慮的主要原因。在這個期間愛因斯坦的工作幾經變動，1912年8月，他從布拉格的卡爾·費爾迪南德大學回到蘇黎士，這看來對廣義相對論的數學發展有決定性的意義。
當他離開布拉格的時候，他已經確信，時間和光線的軌跡都要被引力彎曲。但是這個想法必須要有堅實可靠的基礎。剛剛回到蘇黎士，他就轉而向他的老友和同學格羅斯曼求助，這時候格羅斯曼已經是幾何學教授和ETH的數理學部主任。他對格羅斯曼說：“你必須幫助我，不然我就會瘋了！”
平直的和彎曲的空間
為了了解愛因斯坦是如何解決引力問題的，我們首先必須考慮一下我們日常所經驗到的世界的幾何。公元前320年到260年生活在亞曆山大的古希臘數學歐幾裏德，對此幾何有過詳盡的闡述。愛因斯坦發現，歐幾裏德幾何（歐式幾何）隻適用於空間中某些限定的區域。由度規結構描述的那些幾何性質，在地球上是非常有用的，但是應用到宇宙的大尺度結構上就不行了。
考慮時空最簡單的辦法是把時空當作隻是空間，同時用光的速度作為一個量杆（請記住，光速是絕對的）。一段時間的間隔可以轉換成一段空間長度，隻要簡單地用光在這段時間內走的距離來表示就行了。天文學家們常采用光年來表示星係以及星係之間的距離，一光年大約是10萬億公裏，同時也常用另一個叫做秒差距的單位，它等於3.26光年。這樣做是為了避免太多的零出現在距離的表示中。例如，采用這樣的距離單位後，太陽的距
圖4平直的（A）和彎曲的（B和C）空間。球麵（B）的曲率是正的，而鞍形麵（C）的曲率是負的。
離僅僅是8光分（光在8分鍾內走過的距離），天狼星的距離是2.7個秒差距，雙子座星係團的距離是3億5千萬秒差距。
在狹義相對論中的度規性質意味著時空幾何是平直的，像一張鋪著綠色厚毛呢的台球桌麵那樣。但是在廣義相對論中，我們必須熟悉彎曲時空的概念。從直覺上，每一個人都知道一個平麵，即一個兩維空間，是什麼意思。一張平展地放置在桌麵上的紙，就表示一個平直空間（它沒有曲率）。而另一方麵，球麵卻是彎曲的。這些兩維空間或者表麵（它們在數學上叫做流形）很容易闡明，因為它們嵌在我們非常熟悉的三維空間之中。我們不大可能直觀地想象，高於三維的幾何結構是什麼樣子，除非在某些神秘的感受下或許可能。然而非常重要的一點是，我們要認識到，一個空間的平直或彎曲，完全是這個空間的內稟性質。並不需要一個更高維的空間作為參考對照物。
平直表麵的幾何與彎曲表麵的不同，這一點具有基本的意義。孩子們在學校學的是平直空間的幾何，它在兩千多年以前就被歐幾裏德詳細闡明了。每一個中學生都知道，三角形的三個角之和是180度，以及半徑是R的圓的周長是2πR。愛因斯坦這樣講到過，“歐幾裏德幾何……是一座宏偉壯麗的大廈，在它高聳的階梯上，你會被認真盡責的老師們緊追不放，為它花費掉無數個鍾點。”但是實際上，它的結果隻有對於平直空間才是正確的。畫在一個球麵上的三角形，它的三個角的和要比平麵情況下的大，而球麵上的一個圓的周長，要小於畫在平麵上的圓周長，具體的結果取決於球麵的曲率。雖然我們不可能想象一個彎曲的三維空間，然而我們可以用同樣的方法去推斷它的存在。讓我們來看一下所謂的“平麵世界”，它是維多利亞時代的一位教師阿伯特（EdwinAbbott）1884年首先描述的。阿伯特講述了一種叫做扁方先生的生物的奇遇，這種生物具有兩維結構，沒有上和下的感覺，隻能保持在一個表麵上運動。為了我們的討論，讓我們想象扁方先生處在一個球麵上。它會很快發現它是生活在一個彎曲的空間中，雖然這在第三維看來是很明顯的。為此，它隻需要出發沿一條直線向前，然後在某一地點它就會發現，它已經回到了出發時的位置。實際上，確切說來，這個特點是扁方先生所居住的世界所具有的、整體拓樸或者大尺度形狀的一個性質，而不是一個局部的性質。但是，扁方先生和生活在三維空間的我們自己，隻需要測量這樣的（局部的）性質，比如像圓的周長，就可以知道，這性質是符合歐氏幾何的定律（這樣我們就是生活在一個局部平直的空間），還是與歐氏幾何不符（這樣我們的空間就是彎曲的）。十九世紀偉大的德國數學家兼天文學家高斯（CarlFriedrichGauss，1777--1855），認識到了這一點並且做了許多實驗，去探測我們的三維空間偏離平直的程度。但是，無論是他本人，還是後來繼續做這件事的人，都沒有在地麵實驗中探查出空間的任何彎曲。這當然不會使我們感到驚奇，因為歐氏幾何對我們說來是相當準確地成立，否則學校裏就不會開這門課了。
然而，純數學家通常是不考慮真實的物理世界的。在十九世紀，他們開始構想任意維數和曲率的抽象空間，並且極為詳盡地描述它們的幾何性質。這個工作首先是高斯開創的，他的學生黎曼（GeorgFriedrichBernhardRiemann，1826--66）發展了它，後來使這一理論臻於完善的，主要是克裏斯多夫（BrunoChristoffel），李奇--卡拉斯特羅（Ricci--Curastro）和李微--西威塔（TullioLevi-Civita）。這些卓越的數學家闡明，度規結構可以告訴我們空間的情況，特別是它是平直的（歐氏的），還是彎曲的（非歐氏的）。
當這些發現剛剛被得出的時候，它們僅僅是使一個小圈子裏的數學家從學術上感到興趣的東西。直到愛因斯坦的工作問世以後，人們才廣泛地認識到這些智慧之果所具有的深刻物理意義。除此之外，也隻是由於愛因斯坦和他後繼者的工作，時間才同樣被納入幾何之中。如我們前麵提到過的，閔可夫斯基關於狹義相對論的研究表明，為了數學物理上的目的，可以把時間作為像另一維空間那樣處理。這樣一來，不僅可以談論平直的和彎曲的空間，而且可以談論平直的和彎曲的時空。
剛到蘇黎士的時候，愛因斯坦並不知道黎曼的工作，以及這件工作對於他本人正在思考的問題的重要意義。但是當他跟格羅斯曼討論引力問題的時候，格羅斯曼告訴他說，他要尋找的東西是一種時空，它具有所謂的黎曼幾何結構，這種結構完全不同於狹義相對論的歐幾裏德性質。
時空的關鍵特點是，即使它在大尺度上彎曲，在小尺度上也可以看作是平直的，正像一個人站在板球場上，會覺得地球看上去很平坦一樣。這樣一來，對於描述發生在時空局部區域的事件，狹義相對論和洛倫茲變換仍然可以成立。但是當這個區域擴展到時空曲率變得顯著的時候，情況就不再是這樣的了。這就像是，板球場在板球隊員看來是平坦的，而它所在的那塊大陸，在一個宇航員看來卻是彎曲的。球麵的半徑越大，它的曲率越小，而且在任何一點的周圍，看來是局部平坦的區域也就越大。
從歐氏幾何轉變為黎曼幾何，這是使愛因斯坦得出他的後牛頓引力表示式的關鍵。起初他還得到了格羅斯曼的合作。1914年愛因斯坦遷居柏林，在那裏他最後完成了廣義相對論，他的這一論文題目是“引力的場方程”，於1915年11月25日提交給普魯士科學院。
廣義相對論
時空彎曲的程度，是由於宇宙中物質的分布所決定的：一個區域內的物質密度越大，時空的曲率也就越大。這樣太陽附近的時空就要比地球附近彎曲得利害，因為太陽的質量要大得多。廣義相對論的宇宙中，引力已不再像以前我們理解的那樣是一種力，它已經被轉化到時空的幾何（曲率）中去了。用愛因斯坦的新觀點來看，可以說，引力產生於從狹義相對論的平直空間到廣義相對論的彎曲空間的轉換之中。
這樣，我們對一些日常事件的看法，例如像對蘋果落地這樣的事件，就從根本上改變了。與其把引力想象成為某種神秘的力，經過空間作用在一段距離上，倒不如設想，像地球這樣的大質量物體，使空間和時間發生了畸變。為了對這個說法有一個直觀的了解，一個簡單的辦法，是把時空想象成一張平展的橡膠軟墊。大質量的物體放上去，會使橡膠墊發生局部變形，變形的程度決定於物體的質量。太陽在我們太陽係中，質量遠大於其它任何行星，所以它使時空畸變得最厲害。行星可以用大小不等的球來代表，這些球在橡膠墊上圍繞太陽滾動，球滾動的路徑也就是行星的軌道，它們都位於太陽附近的深“阱”之中。從樹上掉下來的蘋果，不是被一個力拉向地球，而隻不過是滾進地球所造成的局部時空的“阱”裏麵罷了。
圖5測地線規定了在廣義相對論彎曲時空（S）中的運動路徑。如果A和B是S中測地線g上足夠接近的兩個點，則A和B之間所有其它的連線（l和l′）都比測地線為長。在廣義相對論中，地球圍繞太陽的橢圓軌道被解釋為，由於太陽的質量所造成的彎曲時空中的測地線運動。
物體在彎曲時空中的運動規律，一般是不同於平直時空中的規律的。一個不受引力的物體，在三維空間中是作勻速直線運動的。而在有引力的情況下，新的規律則是物體沿“測地線”運動。測地線基本上就是在彎曲的或平直的時空中連接任意兩點的最短的路線，隻要這兩點充分接近（見圖5）。在速度非常小、物質密度也非常低的情況下，測地線運動就退化成牛頓描述的運動。顯然，廣義相對論的這種“退化”一定會發生，因為牛頓物理學所作的預言，在它所適用的範圍內是十分成功的，這我們在上一章
圖6行星繞日運行時近日點的進動。
中已經講到過。然而，對於牛頓無法回答的一些問題，愛因斯坦卻可以用測地線運動來解釋。
第一個例子是有關水星--它是離太陽最近的行星--軌道的一個很小但很重要的細節。雖然愛因斯坦在推導相對論的時候，幾乎沒有考慮到這個問題，但它卻成了對他的新理論的一次輝煌驗證。按照牛頓力學，一個單獨繞太陽運轉的行星，它的軌道應當是一個精確的閉合橢圓，並且軌道的近日點也是固定的（近日點是行星軌道上離太陽最近的一點）。但是水星軌道的問題是，它的近日點不是固定的。其它行星的引力，以及太陽係裏小行星帶的引力，加在一起使水星軌道受到一個很小的附加影響，它使得軌道產生進動，亦即近日點隨著時間逐漸“前移”，在三百萬年內移動一周（見圖6）。但是，除了所有已知的引力影響外，還有一個完全解釋不了的附加進動--所以稱為“異常進動”--根據天文學家們的觀測，它僅僅是每世紀43弧秒。在愛因斯坦以前，這個異常進動被認為是由一顆未被發現的行星引起的。但是愛因斯坦用廣義相對論產生的時空曲率，算出了這個附加的進動值，正好是每世紀43弧秒。近來，其它一些行星的這種近日點“異常”進動也被測量出了。在觀測誤差範圍之內，它們的值也同樣與廣義相對論算出的值相吻合。
愛因斯坦馬上算出來的第二個結果，是他在完成廣義相對論之前就曾預期的一個效應。這就是光的軌跡被物質所彎曲。從狹義相對論以及它的基本原理之一--即光速對所有觀測者都相同，不論他們的速度如何--可以得出一個推論，這就是能量和質量等效。這樣一來，一束光的能量就對應著一定的質量，也就可以受到其它物質的引力作用。因此，在一個大質量天體的附近，例如在一顆恒星的附近，光線就會發生彎曲。以前，愛因斯坦也計算過遙遠的星光在太陽附近發生的偏折角度，但當時他根據的，是某種狹義相對論和廣義相對論的混合方法，其中時空仍然假設是平直的。現在他把這重新計算了一遍，但是應用了時空的曲率。他發現新的結果正好是原來結果的兩倍。現在光線必須沿著彎曲時空中的測地線傳播了。
圖7入射光線掠過一個恒星邊緣時會發生偏折，總的偏轉角度是2（對於太陽來說，的值是1.″75，這是通過比較日全食時的恒星位置和它們已知的位置而得到的，最近根據與太陽大致在一條線上的類星體的觀測，也得到了同樣的值）。
是英國的愛丁頓幫助驗證了愛因斯坦理論的第二個預言。當愛丁頓從中立國荷蘭的德西特那裏第一次聽到愛因斯坦在柏林的工作後，他不顧當時英國和德國已經處於交戰狀態，就為驗證這一理論作出了自己的貢獻。他是教友派的信徒，這個教派從道義上反對戰爭，因而他被準許免服兵役，條件是繼續從事他的科學研究，特別是準備監測一次即將到來的日食。1919年的這次日食，能夠觀測到星光從太陽近旁經過，因而可以測定光線是否發生了彎曲。通常情況下，太陽光的強烈照射使我們看不到星光。然而，從幾內亞灣的普林西比島回來以後--在那裏可以對日食作最好的記錄，除非是遇到壞天氣--愛丁頓在皇家天文學會的一次聚餐會上，模仿奧瑪·哈央姆的詩體，即席朗誦道：