希爾伯特
大衛·希爾伯特（公元1862—1943）是上世紀末、本世紀初真正偉大的數學家之一。作為一個數學思想家，他精力充沛，眼光深遠，富於創造；他始終深深地埋頭於他的工作，他把自己的一切都獻給了他的科學事業。同時，他還多才多藝，興趣廣泛，這一切都使他成為了許多數學領域的開拓者。在作為一名數學家的同時，他還是最好的教師和領頭人——他待人豁達開朗，誨人不倦，有一股不達目的絕不罷休的勁頭。
“我們必須知道，我們必將知道。”是這位偉大的德國數家畢生的樂觀信念。他數學理論方麵的偉大成就和他從事科學事業的那種感人的品格，一直深深地影響著數學科學的發展，直到今天也依然如此。
一、少年時代
公元1861年1月23日下午一點鍾，奧托·希爾伯特和他的夫人瑪麗亞的第一個孩子降生在靠近東普魯士首府哥尼斯堡的韋洛。夫婦倆給這個孩子起了個名字叫大衛。
大衛和德國國家主義幾乎是同時誕生的。他來到人間前幾個月，已故普魯士國王的兄弟到哥尼斯堡進行了一次傳統的朝拜，在這座古老城堡的教堂裏，他帶上了普魯士皇冠。不久，俾斯麥被選中出任他的首相，並進行了欲將德國統一於普魯土的戰爭。戰爭期間，大衛的父親做了城市法官，全家也就隨之搬到了城內。
大衛的母親是位哥尼斯堡商人的女兒，她的名字叫瑪麗亞·特裏施，她可不是一個凡俗的女人，用德國人當時的說法，她可是“一個怪人”，因為作為一個女人，她不僅對哲學和天文學饒有興趣，而且還醉心於素數。他之所以對素數饒有興趣，是因為這些數與其他數相比，它們隻能被自身和1整除。她對這些不凡的“第一等”的數的興趣也遺傳給了她的兒子——大衛·希爾伯特。
希爾伯特一家所居住的哥尼斯堡在一百多年前就被載入了數學史。這個城市位於普雷格爾河的兩條支流之間，市內有七座頗具特色的大橋橫跨普雷格爾河，其中有五座把河岸同河中的克內福弗島相連接。這些橋的設置引出了一個著名的數學問題，這個問題涉及著名的拓撲學基礎。1736年，歐拉發表了一篇圖論論文《哥尼斯堡七橋問題》解答了這個問題。於是這個哥尼斯堡橋問題作為拓撲學與現代圖論的發端而在數學史上變得很有名。
在克內福弗島上還有哥尼斯堡最偉大的居民，哲學家伊曼努爾·康德的墓地，和哥尼斯堡所有的孩子一樣，大衛的成長也深受康德言論的熏陶。每年4月22日康德誕辰紀念日，大衛總是誠心誠意地陪著愛好哲學的母親去瞻仰康德的半身像。
大衛的父親給他的早期教誨，著重在於使他具有普魯士的美德：準時、儉樸和講信義；勤奮、遵紀和守法。父親的這些教誨，一直是大衛·希爾伯特一生做人的準則。
大衛是希爾伯特家唯一的男孩，因此他的父母也就對他寄予了很高的期望，當他6歲的時候，有了一個妹妹，教名是伊麗薩。
在大衛8歲那年，普魯士向法國宣戰。沒出幾個月，勝利的捷報就傳遍了東普魯士的首都——法蘭西皇帝已作了俘虜。在俾斯麥和他的軍隊準備包圍巴黎的時候，大衛開始上學了，其實那時的孩子一般都是在6歲時上學，他之所以晚了兩年大概是父母為了讓他在家裏多接受一些家教，他的母親那時因病臥床，所以他的老師很可能就是他的母親。
他先上了皇家腓特烈預科學校的初級部，學習為進入預科學校所必備的知識，因為如果他希望成為專家、牧師或大學教授的話，那就一定得上這類預科學校。學校的課程包括閱讀和書寫日耳曼語和羅馬語，學習拚法和品詞，分析簡單的句子和一些重要的聖經的故事。當然還有初步的算術，即小的數的加、減、乘、除。
3年後的一天，俄籍猶太人閔可夫斯基為了躲避沙皇政府的迫害而搬到了哥尼斯堡定居，和希爾伯特家隻隔一道普累格爾河。閔可夫斯基家的三兄弟的才華都很出眾，其中老三赫爾曼的數學才能尤為突出。有一堂課，老師因把一個數學問題理解錯了而被“掛了黑板”，學生們異口同聲地叫道：“閔可夫斯基，去幫幫忙。”與赫爾曼相比，希爾伯特小時候卻從未被任何人注目過，按他自己的說法：“小時候是個笨孩子”。
希爾伯特求學的腓特烈預科學校，在哥尼斯堡是一所名牌學校，康德也畢業於此。可是它的課程設置卻是因循守舊，大部分課程非要死記硬背，數學課的份量不多，其他自然科學課根本不學。這對於希爾伯特來說實在是莫大的不幸，因為他的記憶力很差，理解概念的反應也極慢，然而他十分勤奮，每當要理解一件事情時，非得通過自己的消化，徹底弄清楚不可。所以希爾伯特家族的一個成員在許多年後回憶他時說：“全家人都認為他的腦子有點怪，家裏沒有一個人真正了解他。她的母親要幫他完成作文，可是他能給老師講解數學問題”。
的確，希爾伯特已經找到了一門非常適合他的心意又能給他帶來無窮樂趣的課程。正如他後來所說的，數學最合他的口胃，因為它容易，不費力，數學用不著死記硬背，他總是能自己重新推導出結果。不過，他知道，除非他先取得預科學校的畢業文憑，否則按規定是不能上大學和研究數學，從而成為數學家的。於是他眼下隻好放鬆一下自己最喜歡的課目，而集中精力通過拉丁語和希臘語的考試。
1897年9月，預科學校的最後一學期，大衛從腓特烈預科學校轉到了威利預科學校，後者很注重數學，這使他十分高興，老師看出了他的數學天賦，給予了他悉心的輔導。他的成績進步了——包括德語、拉丁語、希臘語、神學和物理學在內的幾乎所有課程都得了“優等”；數學更好，得了最高分“特等”。在獲取文憑的畢業考試中，他因筆試成績極佳而被免去了口試，他的畢業證書背麵的品行評語寫著：他的勤奮”“堪稱模範”，“對科學有濃厚的興趣”，“他對數學表現出了極強烈的興趣，而且理解深刻；他能用極好的方法掌握老師講授的課程，並能正確地、靈活地應用它們”。
二、良師益友
希爾伯特很幸運。他的家鄉雖然遠離柏林這個文化中心，但那裏的哥尼斯堡大學是一所具有優良科學傳統的大學。高斯時代歐洲僅次於高斯的數學家雅可比就曾執教於此。
1880年秋，希爾伯特一進大學就發現大學的生活和預科學校的嚴格校規有著天壤之別，簡直是要多自由就有多自由：教授們想教什麼課就教什麼課，學生們想學什麼就選什麼課上，這裏不規定最少必修課的數目，不點名，平時也不考試，直到為取得學位才考一次。意想不到的自由使許多學生把大學第一年的時間全花到了飲酒和鬥劍上——這些是學生互助會的傳統活動。不過，這對於18歲的希爾伯特來說，這種自由卻為他提供了專心攻讀數學的良好條件。在他心目中，對他將來的職業從沒有過絲毫動搖。他父親雖然堅持讓他學習法律，可他卻不顧父親的反對報名學了數學。
當時經過19世紀前半葉的發展，數學這株枝葉繁茂的大樹，在一些前輩數學家的精心修剪下已經形整貌美。在大學的第一學期，希爾伯特聽了積分學、矩陣論和曲麵的曲率論三門課，根據慣例，學生在第二學期可以轉到另一所大學聽講，他選擇了海德爾堡大學。在海德爾堡，希爾伯特選聽了著名的拉撒路·富克斯的課，這位先生的課別具一格——他課前不大做準備，課堂上習慣於把自己置於險境：對要講的內容現想現推，好讓學生得到瞧一瞧數學思維的實際過程的一個機會。這種“現想現推”式的數學成了希爾伯特終生難於忘懷的教益。
接下去的一學期，本來允許希爾伯特再轉往柏林聽課，但他深深地依戀著他出生的家鄉，於是他毅然返回了哥尼斯堡大學。1882年春季，當他再次決定留在家鄉的大學的時候，年僅17歲的赫爾曼·閔可夫斯基已在柏林學習了三個學期後回到了哥尼斯堡。
年輕的閔可夫斯基當時胸懷壯誌，完全沉浸在一項很深奧的研究之中，他希望以此贏得巴黎科學院的數學科學大獎。那年巴黎科學院出榜征解的題目是：將一個數表示成5個平方數之和。閔可夫斯基的研究結果大大超過了原問題。科學院接收答案的截止日期到了，按照競賽的要求，文章非譯成法文不可，而閔可夫斯基的文章卻來不及譯成法文了。事已如此，他還是決定投搞應征。在最後一刻，他聽從了大哥麥克斯的建議，在文章開頭寫了一個短短的附注。他在附注中解釋道：因為數學問題本身強烈地吸引著他，致使他疏忽了競賽規則；他並表示希望，科學院不會以為“假如我少給了些什麼，實際我給出了更多的東西。”
1883年春，比賽揭曉後，剛滿18歲的閔可夫斯基果然同英國著名的數學家亨利·史密斯共享了這份大獎。此情此景，希爾伯特看在眼裏，喜在心頭。他不顧父親的反對，很快和這個與自己家庭背景不同的年青人成了朋友。希爾伯特比閔可夫斯基大3歲，兩個人的性格在許多方麵極不相象。閔可夫斯基十分靦腆、略有些口吃。這使他與任何一個學數學的同學很難在第一年裏就建立起親密的友誼。但是他們兩個人的心是相通的，他們都深深地愛數學，而且都懷有一種深沉的樂觀主義。盡管當時許多人對一般的科學抱有極度悲觀的看法，認為某些問題無論如何是無法解答的。但是希爾伯特和閔可夫斯基卻早已確信“每一個確定的數學問題必定能得到一個準確的答案：或者給所提問題以實際的肯定回答；或者證明問題是不可解的，因為所有企圖證明它成立的努力必然失敗。”
1884年春天，年僅25歲的阿道夫·赫維茨從哥廷根到哥尼斯堡任副教授，他像閔可夫斯基一樣，也享有數學天資早熟的盛名：在預科學校上學時，他的老師漢尼巴爾·舒伯特十分欣賞他的數學才能，所以常在星期天專門向赫維茨傳授自己擅長的學問——後來人們稱之為“舒伯特演算”。在舒伯特的鼓勵下，赫維茨的父親從朋友那借來錢供兒子繼續上學。後來赫維茨在菲力克斯·克萊因的門下獲得了博士學位。
希爾伯特發現新老師的外表“謙恭、樸實”，而“他那雙閃耀著聰慧和快意的眼睛，就像是他精神的映照”。希爾伯特和閔可夫斯基很快就與赫維茨建立了密切的關係。每天下午“準五點”，三個人必定相會“去蘋果樹”下散步。這種學習方法對希爾伯特來說，要比鑽在昏暗的教室或圖書館啃書本好了不知多少倍。
日複一日的“散步”中，他們全都埋頭於討論當前數學的實際問題，他們之間相互交換對問題新近獲得的研究體會，交流彼此的想法和研究計劃，他們以這種最悠然有趣的學習方式，考察著數學世界中的各個王國。赫維茨有著廣泛“堅實的基礎知識，又經過很好的整理，”所以他是理所當然的領頭人，並使其他兩位心悅誠服。從那時起，他們之間就結下了終身的友誼。
亞曆山大曾對人報怨說：“父王將會征服一切，再沒有什麼留給我們去攻克。”但是，希爾伯特他們沒有亞曆山大的擔憂，因為：
數學這個世界是無窮無盡的。
三、從博士到講師
希爾伯特在大學度過了整整八個學期，走完了取得博士學位的必經之路，他開始考慮該選什麼題目來做他的學位論文。起初，他想研究他喜歡的連分數的一種推廣，但他的博士論文導師林德曼告訴他：很不幸雅可比早就得到了這種推廣。林德曼建議他做個代數不變量理論中的問題，因為這個題目的難度對誌願投考博士學位的人來說是恰到好處，既難而又有希望解決。這個題目當時非常熱門，希爾伯特在研究中選擇了一條和一般人相信能引出結果的辦法完全不同的道路。他的創造才能充分顯示出他那別出心裁的證明道路。漂亮的工作成績，使林德曼教授感到相當滿意。
希爾伯特沒有忘記將論文的抄件用快件寄給閔可夫斯基。他的父親新近去世，此時他正在威斯巴登陪伴他的母親。閔可夫斯基以極大的興趣研讀了他的論文，並在回信中高度讚揚了他的夥伴。
1884年12月11日，希爾伯特通過了口試，等待著他的最後考驗是1885年2月7日，將在大學裏最莊嚴的大廳裏舉行公開的晉級典禮儀式。屆時，他必須麵對兩名正式指定的“對手”的質疑。
希爾伯特選來答辯的兩個命題橫跨了整個數學領地：第一個是關於用實驗確定絕對電磁電阻的方法；第二個涉及到哲學。他以富有說服力的論證結束了答辯，獲得了哲學博士學位。現在，希爾伯特已經邁出了他科學生涯的第一步，但僅僅是個哲學博士是沒有資格給學生們講課的，為了取得講課資格，年輕的博士還得通過一種國家考試。
1885年5月，希爾怕特通過了考試。同年夏天，閔可夫斯基回到哥尼斯堡，取得了博士學位，緊接著他就參軍服役去了。在大學晉級儀式上，閔可夫斯基的正式“對手”之一就是希爾伯特。
沒有被召服兵役的希爾伯特為了彌補居住在小城市的不足，想去作一次學習旅行，赫維茨極力主張他去萊比錫找菲力克斯·克萊因。
當年克萊因雖然剛剛36歲，卻已是數學界的一位傳奇人物。他23歲時，在埃爾蘭根當上了正教授。在就職典禮上，他發表了數學史上稱作埃爾蘭根綱領的演講——他大膽地建議，把許多不同的看起來毫無幹係的幾何，在群的概念下加以統一和分類。
希爾伯特選聽了克萊因的課，還參加了一個討論班。這些活動給他留下了深刻的印象。克萊因也很器重希爾伯特——他仔細地保存了希爾伯特在討論班上提出的報告。他後來還說過：“一聽希爾伯特的報告，我就知道他是一個數學方麵的後起之秀。”
在萊比錫，相當多的人跟希爾伯特一樣對不變量理論感興趣。在這裏，希爾伯特很快成了萊比錫數學界內的一員，他結交了幾位年輕的數學家——喬治·皮克、愛德華·斯塔迪。本來克萊因特意力促斯塔迪和希爾伯特兩位到南方的埃爾蘭根去訪問他的朋友保爾·果爾丹——當時公認的“不變量之王”。但由於某種原因，大概是希爾伯特不喜歡斯塔迪和他作伴，這趟遠征並未成行。
1885年12月初，希爾伯特第一篇關於不變量的文章經克萊因提交給了科學院。
克萊因自己年輕時曾和他的朋友索弗斯·李相伴去巴黎旅行。兩個人都學得了有關群論的知識，這些知識在他們的學術生涯中已經發揮了重大作用，所以克萊因總是試圖把每個有培養前途的德國青年數學家送往巴黎。因為赫維茨也支持克萊因的忠告，所以在1886年3月的時候，希爾伯特便踏上了去巴黎的旅途。
在巴黎，希爾伯特不得不和那位很難相處的斯塔迪協力合作這次由克萊因建立的數學訪問。因為斯塔迪也是按照克萊因的勸告，先期到了那裏。
希爾伯特一安頓下來，就給克萊因寫信。這封信證明他對這位教授非常之敬重。他首先極細心地打了一份草稿，措詞適當而優美，然後用羅馬手寫體大字精心書寫了一遍，而那時候他給赫維茨寫信仍舊用的是歌德體，他遵照克萊因的教誨，和斯塔迪一起先後拜訪了龐加萊、約當、埃爾米特等數學家。
埃爾米特知道他的年輕客人最關心不變量的課題，他就把他們的注意力引導到這個理論中最著名的，但仍懸而未決的問題上——“果丹爾問題”。這使得埃爾米特成了這些法國科學家中對希爾伯特最有吸引力的一位。
希爾伯特在巴黎一心撲在數學上，從不作觀光旅行。他在走訪和聽課之餘，用漂亮的書法編輯並抄寫了他為取得講師資格而寫的論文，這件工作進展很順利。6月底，在回哥尼斯堡的路上，希爾伯特特地到了哥廷根，向正在那裏任教的克萊因彙報了在巴黎的情況。
1887年7月，希爾伯特在哥尼斯堡順利通過了獲得講師資格的學術考試。他對自己決定留在較偏僻的哥尼斯堡任教感到滿意和欣慰，因為他可以在這裏與赫維茨每天去“散步”。
人的一生中，20歲到30歲是最富於科學創造力的黃金時期，對希爾伯特來說，人生差不多已經過了一半。
四、果爾丹問題
希爾伯特果斷地決定，作為一名講師，他所選擇的課目除了教育學生，也要教育自己。跟許多講師不同，他還決定不教重複的課，同時，在每天去蘋果林散步的那段時間，他和赫維茨為他們自己確立了一個目標：“係統地勘查”數學。
第一學期，隻有選聽他的不變量理論課的學生的數目達到了學校規定的開課標準。第二學期，他講授了第一學期想開設而沒能開的課：行列式論和流體動力學。
1888年3月，他感到萬事俱備，可以進行他期待已久的旅行了。他選好了旅行路線，使他能順路訪問21位傑出的數學家，其中有果爾丹、克萊因、許瓦爾茨、富克斯、赫爾姆霍斯、克隆尼克等。當然，他首先要去拜會的是埃爾蘭根的“不變量之王”——果爾丹。
一段時期以來，希爾伯特已經熟悉了果爾丹問題；現在，他終於聽到了果爾丹本人的講述。他似乎體驗到了一種過去從未有過的新境界。這個問題喚起了他那幾乎無法思議的完美想象力。
正如希爾伯特本人後來所列舉的那樣，一個重大的富有成效的數學問題應具備下述的每一個特點：
清晰性和易懂性（“因為清楚、易於理解的問題能吸引人的興趣。而複雜的問題使人望而卻步”）；
困難的（“這才能引誘我們去搞它”）而又不是完全無從下手解決的（“免得我們勞而無功”）；
意義重大（“在通向那隱藏著的真理的曲折路徑上，它是一盞指路明燈”）。
果爾丹問題使他像著魔一般怎麼也放不下手。在旅行訪問結束之後，希爾伯特回到了哥尼斯堡，但他的思想卻終日沉浸在這一問題中，甚至在他喜愛的舞會上也沒有停止思考它。
9月6日，希爾伯特給哥廷根科學會的《通訊》寄去了一份短短的注記。在這篇注記中，他完全出人意料地開辟出一條全新的路徑，表明如何用統一的方法對任意個變數的代數形式建立起果爾丹定理。這個轟動世間的關於不變量係有限基存在性的證明，其基礎是一條引理，即關於“模”的有限基的存在性。“模”是希爾伯特在研究克隆尼克的工作時得到的一個數學概念。這條引理如此簡單，看起來極其平凡。而果爾丹的一般性定理又可以從它直接導出。這件工作是體現希爾伯特思想之精神實質的第一個例子。
即使完成了1890年的那些工作，果爾丹問題仍縈繞在他的心中。作為一名數學家，比起存在性證明來他還是更喜歡有一個實際的構造。在其後的兩年間，他的工作開始發生了變化。代數構成的思想澆灌了他的心田。突然，在1892年，希爾伯特用他的結果結束了一直被人們討論不休的不變量理論，整個理論的呼吸隨之停止了。
隨著希爾伯特超凡脫俗地撥開了果爾丹問題的迷霧，他開始認識了自己，也找到了他的研究方法——鑽研單個的重要問題，這個問題的解決，其意義將遠遠超出問題本身。可是，正當大家期望希爾伯特能來重整果爾丹這個學術領域，從而使它擺脫一籌莫展的局麵時，卻出現了人們無論如何意想不到的情況：希爾伯特不願再為承擔上述工作而花費時日了。最初引起他興趣的問題被解決了，就意味著他自由了。他將堅決地離開它，迎著更深奧的課程前進。
五、轉變
緊接著的3年間，希爾伯特在學術界的地位上升了，他做了大多數年輕人在這種年紀要做的一切事情：結婚、生孩子、接受重要的任命，他還做了一項決定，這項決定改變了他的生活進程。
在德國各大學中爭奪學術職銜的競爭中，當了8年副教授的赫維茨接受了蘇黎世瑞士聯邦技術學院正教授提名。雖然這意味著那日複一日的數學散步即將結束，但赫維茨的位置卻為希爾伯特打開了希望之門。
1892年8月，教授會一致決議：由希爾伯特接任赫維茨副教授的職位。希爾伯特那經濟拮據的講師生活終於到了頭。他欣喜地將此晉升的消息寫信告知閔可夫斯基，同時宣布了他舉行婚禮的日子。