10月12日，希爾伯特與比自己小兩歲的喀娣·耶羅士舉行婚禮。實際上希爾伯特和耶羅士家族有著親戚關係。喀娣為人正直、堅強、賢惠，既體貼人又直率，還總有獨創的見解，是希爾伯特理想的伴侶。
隨著職務和生活中私事的變遷，希爾伯特開始表現出一種新的數學興趣，“從現在起，我要獻身於數論”這是他在完成了最後一篇關於不變量的文章後曾經告訴過閔可夫斯基的。現在，他真的轉向了這個新課題。
眾所周知，是高斯把數的理論置於科學之巔。他把它描繪成“一座倉庫，貯藏著用之不盡的能引起人們興趣的真理。”希爾伯特則把它看作“一幢出奇的美麗又和諧的大廈。”像高斯一樣，希爾伯特被數論迷住了。但盡管他們對數論的評論相似，他們所談論的卻是數論的兩種不同的版本。
高斯稱讚經典的數論，它溯源於希臘，討論存在於自然數之間的關係。其中最重要的是素數間的關係。到了高斯時代，數的概念已經遠遠超出了自然數的範圍。高斯本人是把數論的概念從有理“域”拓展出去的第一位數學家，他認為在有理“域”中，兩個數的和、差、積、還有商（這一點，跟自然數的情形不一樣）仍然屬於有理數域。希爾伯特所稱道的正是高斯開創的數論的新發展。
現在，他使用跟他打通攻克果爾丹問題之路差不多的辦法，開始了在代數數域方麵的工作，他返過頭來思考基本概念，直到得出解決辦法。他的第一篇關於新課題的論文，給出了域內整數分解成素理想數的唯一分解定理的另一個證明。
希爾伯特一直很難安心於他的新境遇：作一個有薪水。有妻子的副教授。因為這裏又有了讓人欣喜的消息：林德曼已經接受了慕尼黑大學的邀請，將要離開哥尼斯堡。不久，年僅31歲的希爾伯特接任了林德曼的教授職銜，這也為閔可夫斯基由波恩返回哥尼斯堡接任希爾伯特的副教授之職帶來了良機。但是直到1894年春天，閔可夫斯基才在希爾伯特的幫助下擺脫了波恩方麵的阻撓，回到了哥尼斯堡。每天在蘋果園中散步以及關於數論的討論終於又重新愉快地開始了。
希爾伯特的新家萬事如意，井井有條。1893年8月11日，他的第一個孩子在海濱勝地克拉茲出世了，他給兒子起名叫弗朗士。
此後幾星期，希爾伯特到慕尼黑參加了德國數學會年會。這個學會是最近才由包括希爾伯特在內的一群數學家籌建起來的，其目的是為了使不同的數學分支之間有更多的交流。會上，希爾伯特提出了關於將一個域中的數分解成素理想數的兩個新證明。雖然他剛剛開始發展代數數論方麵的工作，但他的能力顯然深深打動了其他成員。學會有一項計劃，要按年發表不同數學領域的綜述性文章。現在，經大家公認請希爾伯特和閔可夫斯基在兩年內準備一篇數論發展現狀報告。這樣緊急地指定這項任務，是因為庫莫爾、克隆尼克和戴德金的革命性工作極其複雜，以至當時大多數數學家依舊無法理解它。現在人們期待希爾伯特和閔可夫斯基來改變這種狀況，這種期待不僅是對他們的數學能力的稱頌，也是對他們具有簡明和清晰的數學表達力的讚賞。
隨著閔可夫斯基在1894年返回哥尼斯堡，希爾伯特感到心滿意足，因為再不能有更好的合作者來一起寫這份年度報告了。現在，年度報告在希爾伯特心中開始成形。對一個年輕數學家來講，幹數學會分派的任務，也許是一件不受歡迎的零活，但希爾伯特並不這樣認為，他已經用自己的工作表明，他對把互反律推廣到代數數域特別感興趣。目前，他自願把這些計劃擱置一邊，而要在寫這份指定的報告時看準機會為更深入的研究打下必不可少的基礎。雖然他倆不喜歡靠書本來做學問，但他卻閱讀了自高斯時代以來所有發表的有關數論的著作。對一切已知定理的證明，都要仔細地揣摩以估量優劣。然後，他必須去判定哪些證明中的“原理能夠加以推廣，對進一步的研究最為有用”。可在能夠作出選擇之前，進一步的研究必須先開展起來。那些一直阻礙著人們去全麵評價和領悟他的前輩工作的那些思想作風方麵的困難，必須予以清除。決定已經做出，這份報告應該分成兩個部分：閔可夫斯基討論有理數論；希爾伯特討論代數數論。在1894年期間，希爾伯特為他所承擔的那部分報告奠定了基礎。
可是沒過多久，這兩位肝膽相照的摯友又得惜別。12月初，希爾伯特接到世所公認德國數學界的領袖——克萊因來自哥廷根的信，信中說：“我將盡力讓你取得這裏的任命。”“為了我的科學團體，我需要你這樣的人。因為你的研究方向，你豐富而強有力的教學思想，以及你處在富於創造活動的年齡。”“你還能產生出使我返老還童的影響。”“但是，有件事你今天就得答應我：倘若你接到任命，你將不會拒絕。”
沒有記錄說明希爾伯特曾考慮過拒絕，事實上，他欣喜若狂地給克萊因回信說：“我的一切努力所追求的最終目的，本希望隻能在遙遠的未來才能實現的夙願，已經有了實現的可能。”“你，範圍更大的影響力的環境，以及你們這所大學的光榮，都將提供一種科學上的刺激力，這對我來說最有決定意義的。”
六、哥廷根的教授
哥廷根，是座寂靜秀麗的小城市，古老的城牆至今還圍繞著哥廷根的內城。哥廷根大學的科學傳統為卡爾·弗裏德裏希·高斯所首創。高斯於1795年進入哥廷根大學，在他21歲離開大學之前，就已經完成了那篇數論傑作《算術研究》。當他年事已高時，他在數學與應用數學方麵贏得了與阿基米德和牛頓相當的榮譽。
希爾伯特1895年3月來到哥廷根時，差不多剛好是高斯到達這裏之後的整整100年。當時，這裏有兩位著名的數學家——克萊因和海因裏奇·韋伯。
克萊因的聲望吸引著世界各國的學生。他的講演被奉為經典。因為他每次在開始講課之前都已經為所有公式、圖表和引文作好了周密的安排。講演過程中寫上黑板的東西從來不必擦掉。最後，整個黑板就包含了對講演的內容的一個絕妙概括，每一個小方塊都寫得恰到好處井然有序。與之相比，希爾伯特的講演就遠不如其盡善盡美，而是不修邊幅，難免錯漏，有時還表現出那種忽然有所發現的不適當的衝動，但是希爾伯特慣於回顧他上一次課講過的內容，這種類似於大學預科學校的講課技巧是被當時其他教授瞧不起的，但是因為他的講演充滿了精采的觀點，不久似乎就給許多學生造成了更深刻的印象。
在希爾伯特講授行列式和橢圓函數的時候，閔可夫斯基在哥尼斯堡接受了作為他朋友的繼承人的職位，希爾伯特在哥廷根認真地準備著1893年德國數學會要求他和閔可夫斯基在兩年內合作完成的年度報告，1896年初，希爾伯特的那部分報告接近完成，手稿全部由喀娣·希爾伯特用清楚圓潤的筆跡謄好付印。校樣一出來就被郵往哥尼斯堡請閔可夫斯基過目。閔可夫斯基和赫維茨將全部校樣極為仔細地審讀後，將校正和建議接連地寄往哥廷根，這使得希爾伯特有點不耐煩了。閔可夫斯基便寫信安慰他：“細致有好處。”“報告很快就完成，並將獲得高度評價，請您想想這點，並以此告慰自己吧！”
報告定稿後，希爾伯特為《報告》寫了引言，充分地表達了自己撰寫這篇傑作的思想方法。他還在引言中強調了大數學家們對數論所表示的重視。《報告》上署明的最後日期是：1897年4月10日。
《報告》出版後，閔可夫斯基又以最大的熱忱寫信祝賀：“我相信，在不久的將來，您將會列入數論領域中偉大的經典學者的行列。”“同時我還要向您的夫人祝賀，她為所有數學家的妻子作出良好的榜樣，這將永遠留在人們的記憶之中。”
這份代數數域方麵的報告，無論在哪一方麵都超過了數學會成員們的期望。他們本來隻要求對這門理論當前的狀況作一個概述，而收到的卻是一篇傑作，它簡單而明了地將最近以來全部困難的發展融成了一篇優美而完整的理論。一位同時代的評論家認為，《報告》是一篇令人振奮的藝術佳作，後來有一位作者則稱它是數學文獻寶庫中一件真正的珍品。希爾伯特在這篇報告中所作出的創造性貢獻，其重要意義可以舉一條定理為例來說明，它今天仍然以簡稱“定理90”而聞名，這定理所包含的概念，導致了同調的發展，而同調代數在代數幾何和拓撲學中都起著十分重要的作用。
希爾伯特準備《報告》時的工作，使他具備了這一領域的既精湛又全麵的知識。他謹慎地但又充滿信心地向前邁進著。
次年，希爾伯特又發表了題為《相對阿貝爾域理論》的文章，建立了探討“類域”論所必需的方法和概念。如果說希爾伯特關於不變量的工作，是一項發展性的成果，則這次在代數數域方麵的工作是開創性的，然而對他而言，緊接在開創之後，又在“急轉彎”了。
希爾伯特教授將於1898至1899年冬講授幾何基礎的預告，使學生們都感到很驚異。自從3年前到哥廷根以來，他對這些學生一直是“隻談數域”的，不過，這種新的興趣也並不是完全沒有先兆的。
還是在做講師的時候，赫爾曼·維納在一次講座中對幾何實質的抽象觀點影響了希爾伯特。後來希爾伯特想：“我們必定可以用桌子、椅子和啤酒杯來代替點、線、麵。”這種樸素的說法，蘊含了他現在打算提出的講演的實質。
為了理解希爾伯特對幾何學所采取的研究途徑，我們必須記住，數學起初是一堆並不無嚴格次序的命題，這些命題或者是自明的，或者是從其他看來是自明的命題通過清楚的邏輯的方式而獲得的。這種明顯的準則，無保留地被應用來擴展數學知識。
希爾伯特編寫了《幾何基礎》的講義，這份講義一經出版，又產生了巨大的影響。在幾個月內成了最暢銷的數學書，被譯成了英語、法語等多種語言。那些三年多來聽他談論代數數域的學生，無不驚異地稱讚著這部著作的成功。但甚至就在他們驚訝的時候，希爾伯特又開始在另一個完全不同的數學領域裏發展研究成果了。
1899年夏，他轉向了一個著名的老問題——“狄裏克萊原理”。這一作為幾何函數論的基礎的狄裏克萊原理，已經提出近半個世紀了，但這時的數學家們卻已把這個原理看作瀕臨絕境。希爾伯特遵循了導師克萊因“用新方法來解決老問題，自然，就會引出新問題”的教導，堅信嚴格性有助於方法的簡化。
沒過多久，希爾伯特就向德國數學會提出了挽救狄裏克萊原理的初步嚐試，他把這個嚐試叫做狄裏克萊原理的“複活”。整個論文包括引言在內還不到六頁，卻被讚譽為“妙手回春”之作。（6年以後，在哥廷根科學協會成立150周年之際，希爾伯特又回到了這個問題上，並給出了狄裏克萊原理的第二個證明）。
挽救狄裏克萊原理獲得成功以後，希爾伯特決定於1899至1900年的冬季學期講授變分法——在他的教授生涯中，他還是第一次開這門課。
希爾伯特在這一時期的數學興趣，比他在哥尼斯堡當講師以來的任何時候都要廣泛。他繼續研究幾何學，並發表了幾篇有關的論文。他還發表了一篇題為《數的概念》的文章，正是在如此豐富多采的研究活動中，希爾伯特收到了要他在1900年夏天於巴黎舉行的第2次國際數學家代表大會上作主要發言的邀請。
七、新世紀
1900年，新世紀誘人地展現在他的麵前，猶如一張白紙，一支新筆，等待他去寫最精采的文章，畫最美的圖畫。希爾伯特此時站在數學發展的最前沿，他在準備發表一篇能與這個重要時機相宜的、替純粹數學辯護且預計新世紀數學發展方向的演說，他猶豫著該選怎樣的題材。閔可夫斯基認為：“最有意義的題材，莫過於展望數學的未來，提出數學家們應當在新世紀裏努力解決的問題。這樣，你的講演在往後的數十年中將成為人們議論的中心話題”。
希爾伯特一直在冥思苦想，可是直到6月份還未寫出講稿。已經發出的會議日程表中就沒有了他的講演。到了7月中旬，他才將以《數學問題》為題的講稿清樣寄給了閔可夫斯基。閔河夫斯基和赫維茨花了整整幾個星期的時間，極其審慎地研究了希爾伯特的講稿，他們從講稿的內容以及講的方式上都提出了建議，認為講稿太長了，並且要他把“每個確定的數學問題都應該能得到明確的答案，或者是肯定的回答，或者是證明該問題的不可能性”的這段話，作為整個講演稿的有力結尾。
8月8日，星期三，上午，一位38歲的數學家登上了講壇。此人中等身體，矯健敏捷，寬廣的前額引人注目，已經光禿的頭頂、疏落地餘留著淡紅色的發絲。高高的鼻梁上架著一副眼鏡。不大的連鬢胡。略顯散亂的唇髭下，一張豐滿的大嘴，同細巧的下巴形成鮮明的對照。明亮的藍眼睛，透過閃亮的鏡片射出純真而又堅定的目光。這位講演者，雖然外表樸素無華，他那剛強的品格和卓越的才智所釀成的氣氛，卻驅走了巴黎的炎熱，吸引著每一位與會者的心。
他準備了一個法文的講稿摘要，將它分發給聽眾。在當時，會議並沒有規定要這樣做。大家以感謝的心情等待著講演的開始。為了照顧不很懂德語的聽眾，希爾伯特緩慢地。謹慎地開始了他的講演。
在講演中，希爾伯特強調了決定著一門科學發展方向的問題的重要性，考察了重大而富有成果的問題的特點，闡述了對於問題的“解答”的要求。然後他就提出討論了23個個別的問題。他相信，這些問題的解決，必將大大推動20世紀數學的發展。
頭6個問題與數學基礎有關，希爾伯特認為，剛剛過去的這個世紀裏最偉大的成就，乃是非歐幾何的發現以及算術連續統概念的明確化。關於數學基礎的6個問題，正是在這一觀點的啟發下提出的。這些問題反映出最近在幾何基礎方麵的工作對他的強烈影響和他對公理方法的效用的巨大熱情。其他問題有些是眾所周知的老問題，有些則是新問題，不過它們全是選自希爾伯特本人過去、現在或將來所關心的領域。最後一個問題與其說是一個問題，不如說是對將來的一個建議。希爾伯特認為變分法這個數學領域在過去受到了不適當的忽視，他希望在下個世紀裏數學家們能對這個領域給予更多的注意。他認為所提出的問題隻不過是一些例子，數學科學是一個不可分割的有機整體，它的生命力在於各部分之間的聯係。
在巴黎國際數學家代表大會的其餘日子裏，大衛·希爾伯特關於20世紀的數學問題吸引了整個數學界的想象力。希爾伯特的實際經驗看來保證了這些問題都符合於他在講演中所提出的標準；他的判斷力則使人相信這些問題在今後的年月裏一定能得到解決。由於希爾伯特的迅速提高的聲望，一個數學工作者隻要解決了巴黎問題中的任何一個，就可以使自己一舉成名。後來，那些對於解決希爾伯特為23個問題作出貢獻的數學家們就被稱作“榮譽等級”數學家。
這時，希爾伯特已開始享有一個數學家所能享有的最高聲譽。從關於不變量理論登峰造極的研究——《數論報告》和深刻、豐富的類域論計劃——廣泛傳播影響深遠的幾何基礎小冊子——狄裏克萊原理的起死回生——變分學的重要定理——巴黎問題，外國科學院紛紛選他為院士。德國政府授予他“樞密顧問”的頭銜。但是希爾伯特並沒有用虛偽的謙虛來自擾，而以樸素穩重的喜悅接受了這種成功。
這時，希爾伯特的雙親還健在。長期以來希爾伯特法官對兒子的事業成功一直抱有懷疑。數學有它自己特點，作為門外漢，他不可能真正地鑒賞他兒子的這些成就；但是，希爾伯特獲得了許多榮譽，終於驅散了他父親心中的疑慮。
巴黎會議之後，希爾伯特繼續研究幾何學，但他的大部分時間是用於探討分析問題。但是，在1900至1901年的一個冬日，一個名叫伊凡·弗雷德霍姆的德國年輕人發表的一篇關於積分方程的論文使他認識到：弗雷德霍姆的工作比他自己在變分學方麵的工作更接近於他所追求的目標，那就是從方法論的角度達到處理分析學問題的統一途徑。因此，他現在毫無反悔地放棄了自己原來的計劃而以巨大的熱情投入積分方程的研究。
八、眾望所歸
20世紀初，全世界數學專業的學生都受到同樣的忠告：“打起背包，到哥廷根去！”
論數學，在哥廷根克萊因的講課被人們奉為典範。他備課充分，板書清晰，他還尤其擅長於縱觀全局：能在不同的問題中洞察到統一的思想，並有一種集中必要的材料來闡明其統一見解的藝術。他的觀點是：學生應該自己來完成數學定理的證明，他隻講解證明方法的輪廓。學生們在課外至少得花費四倍的時間來掌握聽課的內容。
相反，希爾伯特的講課與之迥然不同。他也不能容忍數學課隻是填鴨式地給學生灌輸各種事實，而不去教會他們怎樣提出問題和解決問題，他時常告訴學生：“問題的完善提法意味著問題已經解決了一半”。他常常以極其充分的時間來透徹解釋一個問題，使得接下去的證明就顯得那麼自然，以致常使別人驚異地抱怨自己為什麼沒想到它。
他在備課時，隻注重那些準備在課上提出的基本原理，而不詳細準備細目。他認為：“學生們能很容易地填補上這些內容，寫出一份很好的筆記。可是由於他的某些講演的思路太新穎，學生們有時很難跟得上，即使是他的助手阿爾伯特·安德雷的講義筆記也幫不了學生們多少忙。因為他備課方式的簡略，雖然有時在課上由於細節的推錯或推不出而下不了台，然而人們認為，哥廷根的數學課沒人趕得上他。
他在課上時常會順著自己的思路講下去，也會從其他領域引出概念並指出非常好的結果和最新的工作。學生們都被他深深地吸引著：一般來說，在幾年中也不可能見到這麼多的數學概念和領域的。聽他的課，學生們會覺得數學是“活”的。希爾伯特的講課簡煉、自然、邏輯嚴緊、思路清晰、觀點鮮明，與克萊因的那種精心準備，百科全書式的“盡善盡美”講演相比，多數學生更喜歡希爾伯特的課。
希爾伯特還很講究教育學。他並不怎麼看重學生的天資，而相信絕大多數的事情經過幾次才能被接受。當年輕的赫爾曼·魏依爾開始教書生涯時，希爾伯特給他的難忘的忠告是：“五次，赫爾曼，要五次！”“要保持做乘法表那種最低水平的計算”“要從簡單的例子開始。”這又是希爾伯特的一些最得意的準則。他自己在提出重要概念時，就總是以生動的方式尋找對照物，使學生加深理解，而又不易忘卻。
哥廷根就是因為有了希爾伯特，而成了“德國數學的麥加”。
魏依爾就是慕名來到哥廷根。一開始的時候，希爾伯特所講的大部分內容隻是從他的腦子裏一閃而過，但卻在他麵前“打開了新世界的門戶”。希爾伯特的“樂觀，熱情，他對於科學的價值的無可動搖的信仰，以及對於簡明的問題追求簡明答案的推理能力的堅定信心”，這一切都對魏依爾有著不可抗拒的魅力。
魏依爾是一個除了數學還對語言有愛好的青年人，他在閱讀希爾伯特的《報告》時發現希爾伯特清澈明晰的行文風格，反映著他那特有的希爾伯特式的思維方式。他後來總是把研讀《報告》的那幾個月說成是他一生中最幸福的日子。
1902年秋，閔可夫斯基來到哥廷根之後，希爾伯特不再感到弧單了。希爾伯特除了自己的課，還和閔可夫斯基一起主持著一個討論班。由於閔可夫斯基已經具有了相當可觀的物理學專門知識，所以這個討論班學習了一年物理。1905年，他們決定在討論班上研究運動物體的電動力學。閔可夫斯基是開展這項研究計劃的倡導者，希爾伯特是積極的參加和真正的合作者，希爾伯特時常在把一些問題搞得更清晰，而且他永遠在追求著清晰性。
討論班的學生們都覺得這個討論班的活動扣人心弦而且富於刺激力。他們在那裏聽到了有關電動力學的種種古怪有趣的論述，就在這一年，希爾伯特他們無獨有偶地獲得了跟愛因斯坦的狹義相對論類似的結果。但是，當時的哥廷根事先並不知道愛因斯坦的工作。