朱世傑
朱世傑字漢卿，號鬆庭。北京附近人。生卒年不詳，生活於13—14世紀。數學。
關於朱世傑的生平，流傳下來的資料甚少，僅能從趙城、莫若、祖頤等人為他的著作《算學啟蒙》和《四元玉鑒》所寫的序言中找到一些線索。這些序言均稱“燕山鬆庭朱君”、“燕山朱漢卿先生”。在《四元玉鑒》每卷之首也均署名為“寓燕鬆庭朱世傑漢卿編述”，可見他的籍貫當在現在的北京或其附近。莫若序中有“燕山鬆庭朱先生以數學名家周遊湖海二十餘年矣。四方之來學者日眾，先生遂發明《九章》之妙，以淑後學，為書三卷……名曰《四元玉鑒》”，祖頤後序中亦有：“漢卿，名世傑，鬆庭其自號也。周流四方，複遊廣陵，踵門而學者雲集……。”這兩篇序均寫於元大德七年（1303），以莫若序中所說的“以數學名家周遊湖海二十餘年矣”來推算，朱世傑從事數學教學和數學研究的年代當在13世紀末和14世紀初。
1234年蒙古聯宋滅金之後，又經過40餘年，至1276年才攻占了南宋的都城臨安，1279年南宋滅亡。
朱世傑的青少年時代，大約相當於蒙古軍滅金之後。但早在滅金之前，蒙古軍隊便已攻占了金的中都（今北京，是1215年攻占的）。元世祖忽必烈繼位之後，為便於對中原地區的攻略，便遷都於此地，改稱燕京，後又改稱為大都。到13世紀60年代，燕京不隻是重要的政治中心，同時也是重要的文化中心。
忽必烈為了鞏固元朝的統治，網羅了一大批漢族的知識分子作為智囊團。其中有以編製《授時曆》聞名的王恂（1235—1281）郭守敬（1231—1316）以及編製曆法的倡導者和主持者劉秉忠（1216—1274）、張文謙（1216—1283）、許衡（1209—1281）等人。這個集團中的人物，對數學和曆法都很精通。他們未入朝之前，曾隱居於河北南部的武安紫金山中。受到忽必烈禮聘的，還有李冶（1192—1279），他也是一位著名的數學家。
就當時的數學發展情況而論，在13世紀中葉，在河北南部和山西南部地區，出現了一個以“天元術”（一種帶有中國古代數學特點的代數學）為代表的數學研究中心。按祖頤在“《四元玉鑒》後序中敘述天元術發展情況時所說：“平陽（今山西臨汾）蔣周撰《益古》，博陸（今河北蠡縣）李文一撰《照膽》，鹿泉（今河北獲鹿）石信道撰《鈐經》，平水（今山西新絳）劉汝諧撰《如積釋鎖》，絳人（今山西新絳）元裕細草之，後人始知有天元也。平陽李德載因撰《兩儀群英集臻》兼有地元，霍山（今山西臨汾）邢先生頌不高弟劉大鑒潤夫撰《乾坤括囊》末僅有人元二問。吾友燕山朱漢卿先生演數有年，探三才之賾，索《九章》之隱，按天地人物成立四元……。”這段序文敘述出朱世傑學術上的師承關係。毫無疑問，他較好地繼承了當時北方數學的主要成就。當時的北方，正處於天元術逐漸發展成為二元、三元術的重要時期，正是朱世傑把這一成就拓展為四元術的。
朱世傑除繼承和發展了北方的數學成就之外，還吸收了當時南方的數學成就——各種日用、商用數學和口訣、歌訣等。本來，在元滅南宋之前，南北之間的數學交流是比較少的。朱世傑“周流四方，複遊廣陵（今揚州）”應是在1276年元軍對南宋的大規模軍事行動結束之後。朱世傑在經過長期遊學、講學之後，終於在1299年和1303年在揚州刊刻了他的兩部數學著作——《算學啟蒙》和《四元玉鑒》。
隋唐以來，中原地區經濟中心和文化中心逐漸南移。長江中下遊一帶，五代十國時期就比較穩定，北宋時期也有較大發展。隨著金兵入侵和宋王朝的南遷，江南地區的農業、手工業、商業和城市建設等都有較大發展。在這樣的社會條件下，中國數學中自晚唐以來不斷發展的簡化籌算的趨勢有了進一步的發展，日用數學和商用數學更加普及。南宋時楊輝的著作可以作為這一傾向的代表，而朱世傑所著的《算學啟蒙》，則是這一傾向的繼承和發展。
當然，以所取得的成就而論，《四元玉鑒》是遠超《算學啟蒙》的。清代羅士琳在評論朱世傑的數學成就時說：“漢卿在宋元間，與秦道古（九韶）、李仁卿（冶）可稱鼎足而三。道古正負開方，仁卿天元如積，皆足上下千古，漢卿又兼包眾有，充類盡量，神而明之，尤超越乎秦李之上”（羅士琳編《疇人傳·續編·朱世傑條》）。清代另一位數學家王鑒也說：“朱鬆庭先生兼秦李之所長，成一家之著作”（王鑒《算學啟蒙述義·自序》）。此外，朱世傑還繼承發展了日用、商用數學。由此可見，朱世傑可以被看作是中國宋元時期數學發展的總結性人物，是宋元數學的代表，是中國以籌算為主要計算工具的古代數學發展的頂峰。
朱世傑的數學著作，如前所述，有《算學啟蒙》、《四元玉鑒》二種，下麵略加評介。
1.《算學啟蒙》
《算學啟蒙》全書共3卷，分為20門，收入了259個數學問題。全書由淺入深，從整數的四則運算直至開高次方、天元術等，包括了當時已有的數學各方麵內容，形成了一個較完備的體係，可用作教材，它確實是一部較好的啟蒙數學書。
在全書之首，朱世傑首先給出了18條常用的數學歌訣和各種常用的數學常數。其中包括：乘法九九歌訣、除法九歸歌訣（與後來的珠算歸除口訣完全相同）、斤兩化零歌訣（“一退六二五”之類）、籌算記數法則、大小數名稱、度量衡換算、麵積單位、正負數的四則運算法則、開方法等等。值得指出的是，朱世傑在這裏，也是在中國數學史上首次記述了正負數的乘除運算法則。朱世傑把上述這些歌訣和數學常數等，作為“總括”而列在全書之首，這種寫作的方式，在中國古算書中並不多見。
《算學啟蒙》正文分上、中、下三卷。
卷上：共分為8門，收有數學問題113個，其內容為：乘數為一位數的乘法、乘數首位數為一的乘法、多位數乘法、首位除數為一的除法、多位除數的除法、各種比例問題（包括計算利息、稅收等等）。
其中“庫司解稅門”第7問題記有“今有稅務法則三十貫納稅一貫”，同門第10、11兩問中均載有“兩務稅”等，都是當時實際施行的稅製。朱世傑在書中的自注中也常寫有“而今有之”、“而今市舶司有之”等等，可見書中的各種數據大都來自當時的社會實際。因此，書中提到的物價（包括地價）、水稻單位麵積產量等，對了解元代社會的經濟情況也是有用的。
卷中：共7門，71問。內容有各種田畝麵積、倉窖容積、工程土方、複雜的比例計算等等。
卷下：共5門，75問。內容包括各種分數計算、垛積問題、盈不足算法、一次方程解法、天元術等等。
這樣，《算學啟蒙》全書從簡單的四則運算入手，一直講述到當時數學的重要成就——天元術（高次方程的數值解法），為閱讀《四元玉鑒》作了必要的準備，給出了各種預備知識。清代羅士琳說《算學啟蒙》“似淺實深”，又說《算學啟蒙》、《四元玉鑒》二書“相為表裏”，這些話都是不錯的。
《算學啟蒙》出版後不久即流傳至朝鮮和日本。在朝鮮的李朝時期，《算學啟蒙》和《詳明算法》、《楊輝算法》一道被作為李朝選仕（算官）的基本書籍。在日本收藏有一部首尾殘缺、未注明年代的《算學啟蒙》，與此書一起，同時也藏有一部宣德八年（即李朝世宗十五年，1433）朝鮮慶州府刻版的《楊輝算法》。從版刻形式等方麵來辨識，兩部書是相同的，從而有人推斷這部《算學啟蒙》也是1433年朝鮮慶州府刻本。這可能要算是當今世界上最早的傳世刻本。在《李朝實錄》中也記有世宗本人曾向當時的副提學鄭麟趾學習《算學啟蒙》的史料。