(7) 正規乘積算符∶f(a，a)∶的相幹態矩陣元為
〈z|∶f(a，a)∶|z′〉=f(z*，z′)e-12(|z|2+|z′|2)+z*z′.(1.9)
(8) 真空投影算符|0〉〈0|的正規乘積展開式是
|0〉〈0|=∶exp(-aa)∶.（1.10）
下麵給出其嚴格證明，設|0〉〈0|=∶W∶，(W待定)，由粒子態|n〉=ann!|0〉完備性可得
1=∑∞n=0|n〉〈n|=∑∞n，m=0|n〉〈m|1n!m!ddz*nz*mz*=0
=eaddz*|0〉〈0|ez*az*=0
=∶eaddz*Wez*a∶z*=0
=∶eaaW∶=∶eaa∶W∶∶，(1.11)
即|0〉〈0|=∶e-aa∶
成立(值得提到的是，在文獻[15]中，Louill曾給出|0〉〈0|=limε→1∶e-εaa ∶). 利用這個關係，可得
N＾(N＾-1)…(N＾-l+1)=∑∞n=0n(n-1)…(n-l+1)|n〉〈n|
=∑∞n=l∶anan(n-l)!eaa∶
=alal，(1.12)
以及
|0〉〈0|=∑∞l=0(-1)lalall!
=1-N＾+12!N＾(N＾-1)-13!N＾(N＾-1)(N＾-2)+….(1.13)
也可以利用粒子數的完備性∑∞n=0|n〉〈n|=1，給出算符恒等式
eλaa=∑∞n=0eλn|n〉〈n|
=∑∞n=0eλnann!|0〉〈0|ann!
=∑∞n=0∶(eλaa)nn!e-aa∶
=∶exp[(eλ-1)aa]∶.(1.14)
(9) 可以對正規乘積∶∶內部的c數進行積分或微分運算，隻要該積分收斂.這是因
為由性質(1)，內部的a與a可以作為積分參量.
由性質(8)與(9)就聯想到，隻要能將ketbra型的投影算符(形如∫dx|f(x)〉〈x|，∫dx|x，t〉〈x，0|）化成正規乘積形式，則由於在∶∶內部的玻色算符都對易，可被看作積分參數，就可以實現對真實的c數積分.當然，在積分中和在積分後都存在∶∶。如果將最後結果的算符排成正規乘積形式，就可以將∶∶記號去掉。
我們稱此技術為正規乘積內的積分技術，它是IWOP技術的一種.除了這種正規乘積內的積分技術，後麵還要講到反正規乘積(用標記)算符內、Weyl編序乘積(用標記)算符內的積分技術.類似地，對於費米係統也有費米算符相對應的IWOP技術
(7) 正規乘積算符∶f(a，a)∶的相幹態矩陣元為