量子力學語言——狄拉克符號法進階-1.3用IWOP技術和正態分布討論量子力學基本表象

X＾=a+a2，P＾=a-ai2.(1.23)

再根據正規乘積的性質以及∶e-aa∶=|0〉〈0|，式(1.21)的右邊可化為

1π∶e-(x-X＾)2∶

1π∶exp[-x2+2x(a+a)-a2+a22-aa]∶

=1πexp-x22+2xa-a22∶e-aa∶exp-x22+

=2xa-a22

=1πexp-x22+2xa-a22|0〉〈0|exp-x22+

=2xa-a22≡|x〉〈x|，(1.24)

式中：

|x〉=π-1br4exp-x22+2xa-a22|0〉.(1.25)

利用式(1.7)與式(1.23)以及a|0〉=0，發現a作用到式(1.25)會導致

X＾|x〉=x|x〉.(1.26)

這就說明式(1.25)恰恰是坐標本征態在Fock表象中的形式.對式(1.24)再作積分，易得坐標表象完備性

∫dx|x〉〈x|=∫dxπ∶e-(x- X＾)2∶=1.(1.27)

這是完備性的純Guass型積分形式.這在以往的所有量子力學書中都未曾注意到的，使人想起宋代畫家李唐的一首《題畫》詩中的前兩句：雲裏煙村雨裏灘，看之容易作之難. 式（1.27）的得出看似容易，而實際經曆了半個世紀的過程.用本征方程式（1.26）與完備性式(1.27)，就有

δ(x-X＾)=|x〉〈x|.(1.28)

對於式(1.22)，同樣地有

1π∶e-(p-P＾)2∶=|p〉〈p|=δ(p-P＾)，(1.29)

式中

|p〉=π-1br4exp-p22+i2pa+a22|0〉，(1.30)

就是動量算符的本征態

P＾|p〉=p|p〉.(1.31)

注意當恢複m，ω和後，|x〉和|p〉的表達式應分別是

|x〉=mωπ1br4exp-mω2x2+2mωxa-a22|0〉，(1.32)

|p〉=1πmω1br4exp-p22mω+i2mωpa-a22|0〉.(1.33)

可以證明〈x|與|p〉的內積是

〈x|p〉=(2π)-1br2expixp，(1.34)

這恰是Fourier(傅裏葉)變換的核.

另外，根據式(1.32)與式（1.33），可以給出

∫dx2π|x〉=1πmω1br4ea22|0〉=|p=0〉，(1.35)

表示所有坐標本征態的疊加等於動量為零的動量本征態. 類似地有

∫dp2π|p〉=|x=0〉，(1.36)

表示所有動量本征態的線性疊加(以相同的幾率參與，表示動量值最不確定)的效果

等同於坐標值為零(確定的坐標值)的坐標本征態.這是符合海森伯不確定原理的.容易驗