S1S1=μ∫dpdp′|μp〉〈μp′|δ(p-p′)
=∫dp|p〉〈p|=1=S1S1.(1.97)
(2) 壓縮性.利用算符恒等式
eA＾B＾e-A＾=B＾+[A＾，B＾]+12![A＾，[A＾，B＾]]+
13![A＾，[A＾，[A＾，B＾]]]+…，(1.98)
誘導出壓縮變換
S1aS1=acoshλ+asinhλ，
S1aS1=acoshλ+asinhλ，(1.99)
這就是著名的Bogolyubov變換(也稱為壓縮變換)[27]，它被廣泛地應用於量子光學、超導理論和原子核理論中。上述討論表明用Dirac的動量本征態按式(1.85)構造算符，並用IWOP技術積分後就給出誘導Bogolyubov變換的幺正算符，即在經典相空間中的尺度變換|p〉→|μp〉能夠映射出量子幺正變換S1 X＾
S1=μX＾，
S1P＾
S1=P＾brμ.事實上，用Dirac的坐標本征態也構造出單模壓縮算符[28]:
∫dxμxμ
〈x|=exp-λ2(a2-a2).(1.100)
若經典相空間作如下的正則變換x1→x1coshλ+x2sinhλ，x2→x2coshλ+x1sinhλ，則可以映射出雙模壓縮算符. 記雙模坐標本征態是
|x1，x2〉=|x1〉|x2〉，構造如下積分型算符並用IWOP技術積分
S2=∫dx1dx2|x1coshλ+x2sinhλ，x2coshλ+x1sinhλ〉〈x1，x2|
=∫dx1dx2π∶exp-(x21+x22)cosh2λ-x1x2sinh2λ+
2(x1coshλ+x2sinhλ)a1+2(x2coshλ+x2sinhλ)a2+
2(x1a1+x2a2)-12(a1+a1)2-12(a2+a2)2∶
=chλ∶exp(a1a2-a1a2)tanhλ+(a1a1+a2a2)(chλ-1)∶，(1.101)
其中:用了雙模真空態的正規乘積展開形式
|00〉〈00|=∶e-a1a1-a2a2∶.(1.102)
借助恒等式(1.14)，得
S2=expa1a2tanhλexp[(a1a1+
a2a2+1)lnchλ]exp-a1a2tanhλ，(1.103)
其能誘導出下列的雙模壓縮變換
S2a1S-12=a1coshλ-a2sinhλ，(1.104)
S2a2S-12=a2coshλ-a1sinhλ.(1.105)
根據式(1.103)，如果S2作用於真空態|00〉，就得到雙模壓縮真空態
S2|00〉=chλexpa1a2tanhλ|00〉.(1.106)
S1S1=μ∫dpdp′|μp〉〈μp′|δ(p-p′)
=∫dp|p〉〈p|=1=S1S1.(1.97)
(2) 壓縮性.利用算符恒等式
eA＾B＾e-A＾=B＾+[A＾，B＾]+12![A＾，[A＾，B＾]]+