量子力學語言——狄拉克符號法進階-2.3算符X＾mP＾r的Weyl編序展開形式

可以直接得到

Hm+1，r(2X＾，i2P＾)+rHm，r-1(2X＾，i2P＾)

=i2P＾Hm，r(2X＾，i2P＾)，(2.45)

結合式（2.43）就有

(2X＾)m（2iX＾P＾+r）(i2P＾)r-1=i2P＾Hm，r(2X＾，i2P＾).(2.46)

可以進一步驗證式（2.43），根據Hm，n(ξ，ξ*)產生函數

∑∞m，n=0tmt′nm!n!Hm，n(ξ，ξ*)=exp(-tt′+tξ+t′ξ*)，(2.47)

Hm，n(ξ，ξ*)=m+ntmt′nexp(-tt′+tξ+t′ξ*)|t=t′=0(2.48)

以及式(2.43)，可以看出

ezX＾ez′P＾=∑∞m，r=0zmz′rm!r!

X＾mP＾r

=∑∞m，r=0zmz′rm!r!

12m+r(-i)rHm，r(2X＾，i2P＾)

=expi2zz′+zX＾+z′P＾(2.49)

另一方麵，根據式（2.27），直接有

ezX＾ez′P＾

=expizz′2+zX＾+z′P＾=expizz′2+zX＾+z′P＾.(2.50)

從而說明了式（2.43）結果的正確性.

最後，根據式(2.43)與Weyl對應規則式(2.28)，有

(2X＾)m(i2P＾)r=∫dxdpHm，r(2x，i2p)Δ(x，p)(2.51)

根據Wigner算符的正規乘積形式，又可進一步給出其正規乘積，將式(2.3)代入上式並用式(2.48)，得到

(2X＾)m(i2P＾)r

=1π∫dxdpHm，r(2x，i2p)∶exp[-(x-X＾)2-(p-P＾)2]∶

=m+rtmt′r∫dxdp∶exp[-tt′+2xt+2ipt′-(x-X＾)2-(p-P＾)2]∶|t=t′=0

=m+rtmt′r∶expt22+2tX＾-t′22+2t′2iP＾-t2∶|t=t′=0

=m2rtm∶expt22+2tX＾HriP＾-t2∶t=0

=∑ml=0ml

l2rtl∶exp-(it)22+

2it2X＾im-ltm-l

HriP＾-t2t=0∶

=(-1)mm!2r-m

∑ml=0rm-l1l!(2i)l∶Hl(-iX＾)Hr-m+l(iP＾)∶，(2.52)

式中:已利用了有關單變量Hermite多項式的公式

Hm(x)=mtmexp(-t2+2tx)|t=0，(2.53)

ddxsHm(x)=2sm!(m-s)!Hm-s(x)，(2.54)

所以