∫d2zπ
〈-z|aman|z〉
e-2(αz*-zα*)
=2(-1)me2|α|2∫d2zπz*mzn
e-2(|z|2+αz*-zα*)
=12m+n
Hm，n(2α*，2α)，(2.66)
這裏Hm，n(ζ，ξ)是雙變量厄米多項式並已用了相關的積分公式
Hm，n(ζ，ξ)=(-1)meζξ∫d2zπz*mznexp[-|z|2-ζz+ξz*].(2.67)
根據積分公式(2.58)，可計算算符eλaa=∶e(eλ-1)aa∶的經典對應g2(α*，α):
g2(α*，α)=2e2|α|2
∫d2zπ
〈-z|∶e(eλ-1)aa∶|z〉e-2(αz*-zα*)
=2e2|α|2
∫d2zπ
exp[-(eλ+1)|z|2-2(αz*-zα*)]
=2eλ+1exp2(eλ-1)eλ+1|α|2.(2.68)
此外，式(2.65)可以改寫成
g(α*，α)=2πtrG(a，a)e2|α|2
∫d2zπ2
|z〉〈-z|e-2(αz*-zα*).(2.69)
利用積分公式(2.58)和相幹態|z〉=exp(-|z|2br2+za)|0〉，並考慮|0〉〈0|=∶e-aa∶，可證明
e2|α|2
∫d2zπ2
|z〉〈-z|e-2(αz*-zα*)
=∫d2zπ2
∶exp[-|z|2+(α+z)a+(α*-z*)a-aa+αz*-zα*-|α|2]∶
=1π∶exp[-2(α*-a)(α-a)]∶
=Δ(α，α*)，(2.70)
上式左邊就是Wigner算符的相幹態表象中的另一種形式.所以，由式(2.69)與式(2.70)，看出式(2.63)的逆變換
g(α*，α)=2πtr[G(a，a)Δ(α，α*)].(2.71)
2.4.2任意算符的Weyl編序展開公式
根據式(2.65)和式(2.4)可以計算出平移算符D(β)=eβa-β*a的經典對應
g3(α*，α)
=2e2|α|2
∫d2zπ
〈-z|eβa-β*a|z〉e-2(αz*-zα*)
=2e2|α|2-|β|2br2
∫d2zπ
〈-z|eβae-β*a|z〉e-2(αz*-zα*)
=2e2|α|2-|β|2br2
∫d2zπ
exp[-2|z|2-2(αz*-zα*)-z*β-β*z]
=eβα*-β*α，(2.72)
由式(2.63)，有
eβa-β*a=2∫d2αΔ(α，α*)eβα*-β*α.(2.73)
另一方麵，根據式(2.27)，並考慮X＾=
12(a+a)，P＾=1i2(a-a)，有
∫d2zπ
〈-z|aman|z〉
e-2(αz*-zα*)
=2(-1)me2|α|2∫d2zπz*mzn