量子力學語言——狄拉克符號法進階

5.5糾纏態表象求解複變量Fokker?Planck方程（1 / 2）

η2η+η*2η*與λ4γ2ηη*也滿足SU(2)李代數，即

λ4γ2ηη*，

η2η+η*2η*=

λ4γ2ηη*.(5.126)

再利用算符公式

eθ(A＾+B＾)=eθB＾e(1-e-θ)A＾=e(eθ-1)A＾eθB＾，(5.127)

式中:[A＾，B＾]=-A＾，θ

是一參數，就能分解式(5.119)中的指數算符

P(η，η*；t)=e2γtexpγtηη+η*η*?

expλ4γ(e2γt-1)2ηη*P(η，η*；0).(5.128)

由於

P(η，η*；0)=∫d2η0P(η0，η*0；0)δ(2)(η-η0)，(5.129)

式中:兩維δ函數的形式

δ(2)(η-η0)=∫d2βπ2e-iβ(η*-η*0)-iβ*(η-η0)，(5.130)

導出Green函數

G(η，η*；t|η0，η*0；0)

≡e2γtexpγtηη+η*η*expλ4γ[e2γt-1]2ηη*?

δ(2)(η-η0)

=e2γtexpγtηη+η*η*

∫d2βπ2e-iβ(η*-η*0)-iβ*(η-η0)?

exp-|β|2λ(e2γt-1)4γ，(5.131)

其中:對於λ＞0，有

∫d2βπ2exp-iβ(η*-η*0)-iβ*(η-η0)-|β|2λ4γ(e2γt-1)

=4γπλ(e2γt-1)exp-γ|η-η0|2λ(e2γt-1).(5.132)

將式(5.131)代入式(5.132)便得到

G(η，η*；t|η0，η*0；0)=4γπλ(1-e-2γt)exp-γ|eγtη-η0|2λ(e2γt-1).(5.133)

最終，得到

P(η，η*；t)=4γπλ[1-e-2γt]∫exp-γ|eγtη-η0|2λ[e2γt-1]?

P(η0，η*0；0)d2η0，(5.134)

這就是式(5.118)中複變量FP方程的解.

現在考慮一個更複雜的複變量FP方程

tP(η，η*；t)=γη[ηP(η，η*；t)]+η*[η*P(η，η*；t)]+

λ2ηη*P(η，η*；t)+λ22η2P(η，η*；t)+

λ22η*2P(η，η*；t).(5.135)

它的形式解為

P(η，η*；t)

=e2γtexpγtηη+η*η*+λt22η2+2η*2+22ηη*?

P(η，η*；0)

≡e2γtexp[-2γt(B+Γ+Λ)]P(η，η*；0)，(5.136)

η2η+η*2η*與λ4γ2ηη*也滿足SU(2)李代數，即

λ4γ2ηη*，

η2η+η*2η*=

λ4γ2ηη*.(5.126)

再利用算符公式

eθ(A＾+B＾)=eθB＾e(1-e-θ)A＾=e(eθ-1)A＾eθB＾，(5.127)

式中:[A＾，B＾]=-A＾，θ

是一參數，就能分解式(5.119)中的指數算符

P(η，η*；t)=e2γtexpγtηη+η*η*?

expλ4γ(e2γt-1)2ηη*P(η，η*；0).(5.128)

由於

P(η，η*；0)=∫d2η0P(η0，η*0；0)δ(2)(η-η0)，(5.129)

式中:兩維δ函數的形式

δ(2)(η-η0)=∫d2βπ2e-iβ(η*-η*0)-iβ*(η-η0)，(5.130)

導出Green函數

G(η，η*；t|η0，η*0；0)

≡e2γtexpγtηη+η*η*expλ4γ[e2γt-1]2ηη*?

δ(2)(η-η0)

=e2γtexpγtηη+η*η*