δ(x-X＾)δ(p-P＾)
=2∫d2βπ
〈-β|x〉〈p|eipx|β〉e2(β*a-aβ+aa)
=1π
exp[2i(x-X＾)(p-P＾)].(6.7)
從式(6.5)與式(6.7)看出δ(p-P＾)δ(x-X＾)≠δ(x-X＾)δ(p-P＾)，這是因為X＾與P＾不對易的。對於式(6.5)與式(6.7)的導出也可用另一種方法，見文獻[95。
根據δ函數的性質與式(6.1)，就有
1π
exp[-2i(x-X＾)(p-P＾)]
=1π∫dp′dx′e-2i(x-x′)(p-p′)δ(x′-X＾)δ(p′-P＾)
=1π∫dp′dx′Δ(x′，p′)e-2i(p-p′)(x-x′).(6.8)
於是，從式(6.8)和式(6.5)導出
1π∫dp′dx′Δ(x′，p′)e-2i(p-p′)(x-x′)=δ(p-P＾)δ(x-X＾).(6.9)
同樣地，由式(6.7)也可導出
1π∫dp′dx′Δ(x′，p′)e2i(p-p′)(x-x′)=δ(x-X＾)δ(p-P＾).(6.10)
所以根據Weyl對應規則，e±2i(p-p′)(q-q′)brπ可分別看成
δ(x-X＾)δ(p-P＾)
與δ(p-P＾)δ(x-X＾)的經典對應.另外，相對式(6.8)的逆變換為
∫dxdpπ
exp[-2i(x-X＾)(p-P＾)]
e2i(p-p′)(x-x′)
=∫dxdpπ∫dp″dx″Δ(x″，p″)e-2i(p-p″)(x-x″)+2i(p-p′)(x-x′)
=∫dp″dx″Δ(x″，p″)e-2i(p″x″-p′x′)δ(x′-x″)δ(p′-p″)
=Δ(x′，p′)，(6.11)
這就說明下麵等式成立:
∫dxdpδ(p-P＾)δ(x-X＾)e2i(p-p′)(x-x′)=Δ(x′，p′)，(6.12)
或者
∫dxdpδ(x-X＾)(p-P＾)e-2i(p-p′)(x-x′)=Δ(x′，p′).(6.13)
所以，式(6.9)~式(6.13)在xp相空間中是Wigner算符的新變換形式，簡稱範氏變換.
如果在式(6.11)兩邊同時左乘∫dx′dp′f(p′，x′)，得到
∫dx′dp′f(p′，x′)Δ(x′，p′)
=∫dx′dp′f(p′，x′)
∫dxdpπe2i(p-p′)(x-x′)exp[-2i(x-X＾)(p-P＾)]
=∫dxdpπe-2i(x-X＾)(p-P＾)G(p，x)，(6.14)
令
G(p，x)≡∫dx′dp′πf(p′，x′)e2i(p-p′)(x-x′)，(6.15)
δ(x-X＾)δ(p-P＾)
=2∫d2βπ
〈-β|x〉〈p|eipx|β〉e2(β*a-aβ+aa)
=1π
exp[2i(x-X＾)(p-P＾)].(6.7)
從式(6.5)與式(6.7)看出δ(p-P＾)δ(x-X＾)≠δ(x-X＾)δ(p-P＾)，這是因為X＾與P＾不對易的。對於式(6.5)與式(6.7)的導出也可用另一種方法，見文獻[95。
根據δ函數的性質與式(6.1)，就有
1π
exp[-2i(x-X＾)(p-P＾)]
=1π∫dp′dx′e-2i(x-x′)(p-p′)δ(x′-X＾)δ(p′-P＾)
=1π∫dp′dx′Δ(x′，p′)e-2i(p-p′)(x-x′).(6.8)
於是，從式(6.8)和式(6.5)導出
1π∫dp′dx′Δ(x′，p′)e-2i(p-p′)(x-x′)=δ(p-P＾)δ(x-X＾).(6.9)
同樣地，由式(6.7)也可導出
1π∫dp′dx′Δ(x′，p′)e2i(p-p′)(x-x′)=δ(x-X＾)δ(p-P＾).(6.10)
所以根據Weyl對應規則，e±2i(p-p′)(q-q′)brπ可分別看成
δ(x-X＾)δ(p-P＾)
與δ(p-P＾)δ(x-X＾)的經典對應.另外，相對式(6.8)的逆變換為
∫dxdpπ
exp[-2i(x-X＾)(p-P＾)]
e2i(p-p′)(x-x′)
=∫dxdpπ∫dp″dx″Δ(x″，p″)e-2i(p-p″)(x-x″)+2i(p-p′)(x-x′)
=∫dp″dx″Δ(x″，p″)e-2i(p″x″-p′x′)δ(x′-x″)δ(p′-p″)
=Δ(x′，p′)，(6.11)
這就說明下麵等式成立:
∫dxdpδ(p-P＾)δ(x-X＾)e2i(p-p′)(x-x′)=Δ(x′，p′)，(6.12)