2∑2k=1akak]
=2exp12(ξη*-ηξ*)+ξ(a2-a1)+η(a2+a1)-
η*(a1+a2)+ξ*(a1-a2)+2a2a1-2a2a1，(6.46)
其中已用了積分公式
∫d2zπexp(ζ|z|2+ξz+ηz*)=-1ζexp-ξηζ，Re(ζ)＜0.(6.47)
從式(6.46)就有
12|η〉〈ξ|e(η*ξ-ηξ*)br2=exp[(ξ-a1-a2)(η*-a1+a2)-
(η-a1+a2)(ξ*-a1-a2)].(6.48)
將式(6.48)代入式(6.42)，便有
δ(2)(ν-a1+a2)
δ(2)(μ-a1-a2)
=exp[(μ-a1-a2)(ν*-a1+a2)-
(ν-a1+a2)(μ*-a1-a2)]，(6.49)
它在內是exp指數形式.注意到
[a1-a2，a1+a2]=-2，(6.50)
就應該考慮到不同於式(6.42)的另一形式
δ(2)(μ-a1-a2)
δ(2)(ν-a1+a2)
=12∫d2ηd2ξπ2
|ξ〉〈η|e(ηξ*-η*ξ)br2δ(2)(ν-η)δ(2)(μ-ξ).(6.51)
與導出式(6.48)類似的方法，也有
12|ξ〉〈η|e(ηξ*-η*ξ)br2=exp[(η-a1+a2)(ξ*-a1-a2)-
(ξ-a1-a2)(η*-a1+a2)]，(6.52)
即
δ(2)(μ-a1-a2)
δ(2)(ν-a1+a2)
=exp[-(μ-a1-a2)(ν*-a1+a2)+
(ν-a1+a2)(μ*-a1-a2)].(6.53)
從式(6.49)與式(6.53)的結果，必須指出由於Weyl編序符號存在，(ex)-1不等於e-x。
下麵，考慮糾纏Wigner算符Δ(μ，ν)與
δ(2)(η-a1+a2)
δ(2)(ξ-a1-a2)的積分變換關係.作為式(6.40)與式(6.49)的結果，有
δ(2)(η-a1+a2)
δ(2)(ξ-a1-a2)
=exp[(ξ-a1-a2)(η*-a1+a2)-
(η-a1+a2)(ξ*-a1-a2)]
=∫d2μd2νπ2
e(ξ-μ)(η*-ν*)-(η-ν)(ξ*-μ*)
δ(2)(μ-a1-a2)?
δ(2)(ν-a1+a2)
= ∫d2μd2νπ2
e(ξ-μ)(η*-ν*)-(η-ν)(ξ*-μ*)Δ(μ，ν)，(6.54)
這就是糾纏Wigner算符與Δ(μ，ν)和δ(2)(μ-a1-a2)
δ(2)(ν-a1+a2)的相互變換式.由於∫d2μd2νΔ(μ，ν)=1，可認為四個δ算符乘積以Δ(μ，ν)形式展開。設W(μ，ν)=〈ψ|Δ(μ，ν)|ψ〉，從式(6.48)與式(6.54)就能得到|ψ〉的Wigner函數積分關係
2∑2k=1akak]
=2exp12(ξη*-ηξ*)+ξ(a2-a1)+η(a2+a1)-
η*(a1+a2)+ξ*(a1-a2)+2a2a1-2a2a1，(6.46)
其中已用了積分公式
∫d2zπexp(ζ|z|2+ξz+ηz*)=-1ζexp-ξηζ，Re(ζ)＜0.(6.47)
從式(6.46)就有
12|η〉〈ξ|e(η*ξ-ηξ*)br2=exp[(ξ-a1-a2)(η*-a1+a2)-
(η-a1+a2)(ξ*-a1-a2)].(6.48)
將式(6.48)代入式(6.42)，便有
δ(2)(ν-a1+a2)
δ(2)(μ-a1-a2)
=exp[(μ-a1-a2)(ν*-a1+a2)-
(ν-a1+a2)(μ*-a1-a2)]，(6.49)
它在內是exp指數形式.注意到
[a1-a2，a1+a2]=-2，(6.50)
就應該考慮到不同於式(6.42)的另一形式
δ(2)(μ-a1-a2)
δ(2)(ν-a1+a2)
=12∫d2ηd2ξπ2