同樣的方法，有
amanakaj=(-i)k+n∶amHk，n(ia，ia)aj∶
=∑min[k，n]l=0
(-1)lk!n!l!(k-l)!(n-l)!
am+k-lan-l+j
=∑min[k，n]l=0
(-1)lk!n!l!(k-l)!(n-l)!
Hm+k-l，n-l+j(a，a)
=Hm，n(a，a)Hk，j(a，a)，(7.165)
即
Hm，n(a，a)Hk，j(a，a)
=
∑min[k，n]l=0
(-1)lk!n!l!(k-l)!(n-l)!
Hm+k-l，n-l+j(a，a).(7.166)
(2) 導出一些積分公式.從相幹態完備性的正規乘積形式:
∫d2zπ|z〉〈z|=
∫d2zπ∶
exp-|z|2+za+z*a-aa∶=1，(7.167)
有
anam=
∫d2zπ
an|z〉〈z|am
=∫d2zπznz*m∶exp(-|z|2+za+z*a-aa)∶，(7.168)
再由式(7.158)，得
∫d2zπznz*m∶exp(-|z|2+za+z*a-aa)∶
=(-i)m+n∶Hm，n(ia，ia)∶.(7.169)
因為在∶∶內a與a是相互對易的，它們可以當成c數看待.將a→ξ和a→η，容易得到下麵的積分公式:
Hm，n(iξ，iη)=im+ne-ξη∫d2zπznz*mexp(-|z|2+ξz+ηz*).(7.170)
或者取ia→ξ和ia→η，有
Hm，n(ξ，η)=(-1)meξη∫d2zπznz*mexp(-|z|2-ξz+ηz*)，(7.171)
Hm，n(ξ，η)=(-1)neξη∫d2zπznz*mexp(-|z|2+ξz-ηz*).(7.172)
這個積分公式經常被用到[128，129].再根據量子光學中在相幹態|z〉的P表示，得
ρ=∫d2zπP(z)|z〉〈z|，(7.173)
用式(7.160)和式(7.167)，就能夠導出如下等式:
Hm，n(a，a)=∫d2zπHm，n(z*，z)|z〉〈z|
=∫d2zπHm，n(z*，z)∶exp
[-|z|2+z*a+
za-aa]∶
=aman.(7.174)
當a→η與a→ζ*，則
∫d2zπHm，n(z*，z)∶exp[-(z*-ζ*)(z-η)]=ζ*mηn.(7.175)
(3) 導出有關雙變量厄米多項式遞推關係.根據式(7.158)和式(7.160)的結果，有
ddaanam=nan-1am
=n(-i)m+n-1∶Hm，n-1(ia，ia)∶
同樣的方法，有
amanakaj=(-i)k+n∶amHk，n(ia，ia)aj∶
=∑min[k，n]l=0
(-1)lk!n!l!(k-l)!(n-l)!
am+k-lan-l+j
=∑min[k，n]l=0
(-1)lk!n!l!(k-l)!(n-l)!
Hm+k-l，n-l+j(a，a)
=Hm，n(a，a)Hk，j(a，a)，(7.165)
即
Hm，n(a，a)Hk，j(a，a)
=
∑min[k，n]l=0
(-1)lk!n!l!(k-l)!(n-l)!