∫d2ξπξ*Hm，n(ξ，ξ*)e-(α*-ξ*)(α-ξ)=αmα*n+1+mαm-1α*n.(7.195)
對於g≠1時，根據式(7.155)與式(7.153)，並根據[a+b，a+b]=0，導出
∑∞m，n=0tmt′nm!n!
Hm，n[g(a+b)，g(a+b)]
=exp-tt′+tg(a+b)+t′g(a+b)
=∶expt(a+b)+t′(a+b)-tt′(1-g2)∶
=∑∞m，n=0(1-g2t)m(1-g2t′)nm!n!∶Hm，n
a+b1-g2，a+b1-g2∶，(7.196)
進而
Hm，n[g(a+b)，g(a+b)]
=(1-g2)(m+n)br2
∶Hm，n
a+b1-g2，a+b1-g2∶.(7.197)
根據式(7.187)與式(7.189)，有
Hm，n[g(a+b)，g(a+b)]
=
∫d2ξπHm，n(gξ，gξ*)∶e-(a+b-ξ*)(a+b-ξ)∶(7.198)
比較式(7.197)與式(7.198)，就有另一個新的積分公式
∫d2ξπHm，n(gξ，gξ*)e-(α*-ξ*)(α-ξ)
=(1-g2)(m+n)br2Hm，n
α1-g2，α*1-g2.(7.199)
因為X＾+Y＾=12(a+a+b+b)，再利用式(7.192)與式(7.35)，可以推出
2n∶(X＾+Y＾)n∶=∶
(a+b+a+b)n∶
=∑nl=0nl
∶(a+b)l(a+b)n-l∶
=∑nl=0nl
Hl，n-l
(a+b，a+b)
=Hna+b+a+b2.(7.200)
於是從式(7.200)，可得到在單變量Hermite多項式與雙變量Hermite多項式之間的關係類似於二項式定理
∑nl=0nl
Hl，n-l(x，y)=Hnx+y2.(7.201)
另一方麵，由
e-tt′+t′(a+b)+t(a+b)=e-2tt′+t′(a+b)+t(a+b)
=∑∞m，n=0
2(m+n)br2tmt′nm!n!
Hm，na+b2，a+b2(7.202)
得到
Hm，n(a+b，a+b)=2(m+n)br2Hm，na+b2，a+b2.(7.203)
同樣地，有
∑∞m，n=0
tmt′nm!n!(a+b)m（a+b)n
=∶
ett′+t′(b+a)+t(a+b) ∶
=∑∞m，n=0(it)m(it′)nm!n!∶Hm，n
[-i(a+b)，-i(a+b)]∶，(7.204)
就有
(a+b)m(a+b)n=im+n∶Hm，n[-i(a+b)，-i(a+b)]∶.(7.205)
∫d2ξπξ*Hm，n(ξ，ξ*)e-(α*-ξ*)(α-ξ)=αmα*n+1+mαm-1α*n.(7.195)
對於g≠1時，根據式(7.155)與式(7.153)，並根據[a+b，a+b]=0，導出
∑∞m，n=0tmt′nm!n!
Hm，n[g(a+b)，g(a+b)]
=exp-tt′+tg(a+b)+t′g(a+b)
=∶expt(a+b)+t′(a+b)-tt′(1-g2)∶
=∑∞m，n=0(1-g2t)m(1-g2t′)nm!n!∶Hm，n
a+b1-g2，a+b1-g2∶，(7.196)
進而
Hm，n[g(a+b)，g(a+b)]
=(1-g2)(m+n)br2
∶Hm，n
a+b1-g2，a+b1-g2∶.(7.197)
根據式(7.187)與式(7.189)，有
Hm，n[g(a+b)，g(a+b)]
=
∫d2ξπHm，n(gξ，gξ*)∶e-(a+b-ξ*)(a+b-ξ)∶(7.198)
比較式(7.197)與式(7.198)，就有另一個新的積分公式
∫d2ξπHm，n(gξ，gξ*)e-(α*-ξ*)(α-ξ)
=(1-g2)(m+n)br2Hm，n
α1-g2，α*1-g2.(7.199)
因為X＾+Y＾=12(a+a+b+b)，再利用式(7.192)與式(7.35)，可以推出
2n∶(X＾+Y＾)n∶=∶
(a+b+a+b)n∶
=∑nl=0nl
∶(a+b)l(a+b)n-l∶
=∑nl=0nl
Hl，n-l
(a+b，a+b)
=Hna+b+a+b2.(7.200)
於是從式(7.200)，可得到在單變量Hermite多項式與雙變量Hermite多項式之間的關係類似於二項式定理