而B(0，y)=1.進而，從
eλaa=∶exp[(eλ-1)aa]∶
=∶∑∞l=0(eλ-1)l(aa)ll!∶
=∑∞n=0∶B(n，aa)∶λnn!
=∑∞n=0∑∞l=0
nl∶(aa)l∶λnn!，(7.242)
可以得到Stirling數的產生函數公式
∑∞n=0nlλnn!=(eλ-1)ll!.(7.243)
現在，考慮如何將(arar)k轉變為正規乘積形式?利用式(7.234)，有
(arar)k
=∑∞n=0[n(n-1)…(n-r+1)]k|n〉〈n|
=∑∞n=0[n(n-1)…(n-r+1)]k∶(aa)nn!∑∞m=0
(-1)mm!(aa)m∶
=∶∑∞l=0(aa)l∑lm=0[(l-m)(l-m-1)…(l-m-r+1)]k?
(-1)mm!(l-m)!∶
=∶∑∞l=0(aa)l1l!∑lm=0(-1)l-mlm[m(m-1)…(m-r+1)]k∶.(7.244)
引入
1l!∑lm=0→m=r(-1)l-mlm[m(m-1)…(m-r+1)]k≡Sr，r(k，l)，(7.245)
這就是一種廣義Stirling數，於是有算符等式
(arar)k=∶∑∞l=0(aa)lSr，r(k，l)∶，k≠0.(7.246)
由於
∑∞k=0→k=[lbrr]ykk!Sr，r(k，l)
=1l!∑lm=0(-1)l-mlm∑∞k=[lbrr]ykk![m(m-1)…(m-r+1)]k
=1l!∑lm=0(-1)l-mlm[eym(m-1)…(m-r+1)-1](7.247)
則有
eλarar=∑k=0λkk!(arar)k
=1+∑k=1λkk!
(arar)k
=1+∑k=1λkk!∶
∑∞l=0(aa)lSr，r(k，l)∶
=1+∶∑∞l=r
1l!∑lm=r(-1)l-mlm[eλm(m-1)…(m-r+1)-1]
(aa)l∶.(7.248)
從
N＾ar-1=ar-1N＾+(r-1)ar-1=ar-1(N＾+r-1)，(7.249)
有
(ara)k
=(ar-1N＾)k=ar-1N＾ar-1N＾ar-1…N＾ar-1N
=a2(r-1)(N＾+r-1)ar-1(N＾+r-1)…ar-1(N＾+r-1)N＾
=a3(r-1)[N＾+2(r-1)]ar-1[N＾+2(r-1)]…?
ar-1[N＾+2(r-1)](N＾+r-1)N＾
=…=ak(r-1)[N＾+(k-1)(r-1)][N+(k-2)(r-1)]…?
而B(0，y)=1.進而，從
eλaa=∶exp[(eλ-1)aa]∶
=∶∑∞l=0(eλ-1)l(aa)ll!∶
=∑∞n=0∶B(n，aa)∶λnn!
=∑∞n=0∑∞l=0
nl∶(aa)l∶λnn!，(7.242)
可以得到Stirling數的產生函數公式
∑∞n=0nlλnn!=(eλ-1)ll!.(7.243)
現在，考慮如何將(arar)k轉變為正規乘積形式?利用式(7.234)，有
(arar)k
=∑∞n=0[n(n-1)…(n-r+1)]k|n〉〈n|