量子力學語言——狄拉克符號法進階-8.1新三體糾纏態表象的構造

1=16π3br2∫dρdχ1dχ2∶exp-16(ρ2+3χ21+2χ22)+

i26ρa1-2a2+a3-a1+2a2-a3+

22χ1a1-a3+a1-a3+23χ2∑3j=1aj+aj-

162a12-a22+2a32+2a21-a22+2a23-

132a1a2-a1a3+2a2a3+2a1a2-a1a3+2a2a3-

∑3j=1

ajaj∶

=∫dρdχ1dχ2|ρ，χ1，χ2〉〈ρ，χ1，χ2|，

(8.11)

其中：

|ρ，χ1，χ2〉=16π3br4exp-112

(ρ2+3χ21+2χ22)+

26iρa1-2a2+a3+22χ1a1-a3+

23χ2∑3j=1aj-162a12-a22+2a32-

132a1a2-a1a3+2a2a3|000〉.(8.12)

它是一個三體糾纏態在Fock空間中的具體形式，也組成了完備集. 實際上，將aj(j=1，2，3)分別作用於|ρ，χ1，χ2〉，並利用aj，faj，aj=faj，ajaj以及aj|0〉=0，就能導出

a1|ρ，χ1，χ2〉=

1322(iρ+3χ1+2χ2)-(2a1+2a2-a3)|ρ，χ1，χ2〉，

(8.13)

a2|ρ，χ1，χ2〉=

132(-iρ+χ2)+(a2-2a1-2a3)|ρ，χ1，χ2〉，

(8.14)

a3|ρ，χ1，χ2〉=

1322(iρ-3χ1+2χ2)+(a1-2a2-2a3)|ρ，χ1，χ2〉.

(8.15)

聯合式（8.13），式（8.14）與式（8.15）並考慮式（8.10）就能給出本征方程式（8.6）～式（8.8）.

利用式（8.6）～式（8.8），也能計算出

〈ρ′，χ′1，χ′2|（X＾1-X＾3）|ρ，χ1，χ2〉

=χ′1〈ρ′，χ′1，χ′2|ρ，χ1，χ2〉

=χ1〈ρ′，χ′1，χ′2|ρ，χ1，χ2〉，

(8.16)

〈ρ′，χ′1，χ′2|（X＾1+X＾2+X＾3）|ρ，χ1，χ2〉

=χ′2〈ρ′，χ′1，χ′2|ρ，χ1，χ2〉

=χ2〈ρ′，χ′1，χ′2|ρ，χ1，χ2〉，

(8.17)

〈ρ′，χ′1，χ′2|（P＾1-2P＾2+P＾3）|ρ，χ1，χ2〉

=ρ′〈ρ′，χ′1，χ′2|ρ，χ1，χ2〉

=ρ〈ρ′，χ′1，χ′2|ρ，χ1，χ2〉，(8.18)

這就說明|ρ，χ1，χ2〉具有正交性

〈ρ′，χ′1，χ′2|ρ，χ1，χ2〉=δ(ρ′-ρ)δ(χ′1-χ1)δ(χ′2-χ2).(8.19)