=tr[A＾tr～（ψ(β)〉〈ψ(β)）].(9.9)
由於ψ(β)〉包含實空間和虛空間，則
tr～（ψ(β)〉〈ψ(β)）≠〈ψ(β)ψ(β)〉.(9.10)
把式（9.9）與式(9.8)比較，得
tr～（ψ(β)〉〈ψ(β)）=e-βH＾Z(β)=ρ.(9.11)
這就提示我們對於一個給定的哈密頓量H＾，如果能找到一個ψ(β)〉態(它在擴展了的態空間中），它的部分求跡(在虛空間中）就應該等於密度算符ρ=e-βH＾Z(β)[159]. 當取H＾1=ωaa，由式（9.7），就有
tr～（0(β)〉〈0(β)）=(1-e-βω)e-βc，(9.12)
ρc就是熱場的密度算符. 現在借助IWOP技術，根據這個想法來求出熱真空態。
先求對H＾1=ωaa的ψ(β)〉，由於
e-βH＾1=e-βωaa=∶exp[(e-βω-1)aa]∶，(9.13)
以及積分公式
∫d2zπ
exp(-hz2+ηz+ξz)=1h
expηξhReh＞0，(9.14)
用IWOP積分技術可將式(9.13)改寫為
e-βH＾1=∫d2zπ∶
exp(-z2+zae-βω2+zae-βω2-aa)∶.(9.15)
注意到∶e-aa∶=0〉〈0為實真空態的投影算子，於是上式右邊可改寫為
e-βH＾1=∫d2zπezae-βω20〉〈0ezae-βω2〈0～〉〈0～〉，(9.16)
其中〉是在虛空間中的相幹態
〉=exp(z-z)0～〉，〉=z〉，
〈0～〉=e-z22.(9.17)
由於虛實空間中的算符都相互對易，實空間中的算符對虛態也不起作用，再利用〉=z〉，式（9.16）可改寫為
e-βH＾1=∫d2zπ〈ezae-βω200～〉〈0～0ezae-βω2〉
=∫d2zπ〈eae-βω200～〉〈0～0eae-βω2〉
=tr～∫d2zπ〉〈(eae-βω200～〉〈0～0eae-βω2).(9.18)
對照式（9.11）並注意到
∫d2zπ〉〈=1，Z(β)=tre-βH＾1=1-e-βω，(9.19)
可見所求的態是
ψ(β)〉=1-e-βωexp[ae-βω2]00～〉.(9.20)
這恰好是式（9.7）中的熱直空態. 以上推導表明，隻要用IWOP技術把e-βH＾用擴展在虛實空間的態矢的tr～形式來表示即可，而不需要像Takahashi和Umezawa那樣引入δnm=〈〉。 這種新做法推廣到其他複雜的係統，例如H＾2=ωaa+κa2+κa2的廣義熱真空態以及H＾3=ω(aa+bb)+gab+κab的雙模熱真空態，分別見下麵兩節內容。
=tr[A＾tr～（ψ(β)〉〈ψ(β)）].(9.9)