量子力學語言——狄拉克符號法進階-9.2廣義的熱真空態|(β)〉

此外，也可以得到該係統的內能(下標e表示係綜平均)

〈H＾2〉e=-βlnZ(β)=Dcoth(βDbr2)-ω2，(9.32)

這與文獻[161]中用廣義FeynmanHellmann定理(GHFT)求得結果是一致的，熵的分布[162]

S=-κtr(ρlnρ)=1T〈H〉e+κlnZ(β)

=D2Tcoth(βDbr2)-κln[2sinh(βDbr2)].(9.33)

特別地，當取κ=0，就有D=ω，所以式（9.31）就退化為式(9.7)中的熱真空態|0（β）〉以及式(9.32）和式(9.33)分別變為ω2［coth(βωbr2)-1］與ω2Ｔcoth(βωbr2)-κln[2sinh(βωbr2)]，這也與文獻[163]的結果一樣.

9.2.2用|(β)〉導出係統的內能分布

有了熱真空態式（9.31）的形式，可用它來評估相應哈密頓量中各項對係綜能量的貢獻. 根據式（9.1）的思想，算符A＾的平均值通過〈A＾〉e=〈(β)|A＾|(β)〉來計算而得。利用相幹態完備性以及式（9.29）的積分公式，並注意〈(β)|(β)〉=1，（1-λ)2-4|E|2=4λsinh2(βDbr2)，就有

〈ωaa〉e=ω〈(β)|(aa-1)|(β)〉

=2λ1br2sinh(βDbr2)〈00～|eEa2+λaa∫d2zπ|z〉

〈z|aeE*a2+λa|00～〉-ω

＝2ωλ1br2sinh(βDbr2)λ∫d2zπe-(1-λ)|z|2+Ez2+E*z*2-ω

=2ωλ1br2sinh(βDbr2)λ1(1-λ)2-4|E|2-ω

=ω2ωDcoth（βDbr2）-1，(9.34)

〈κ*a2〉e=2κ*λ1br2sinh(βDbr2)E*1(1-λ)2-4EE*

=-|κ|2Dcoth（βDbr2），(9.35)

〈κa2〉e=-|κ|2Dcoth(βDbr2).(9.36)

從式（9.35）和式（9.36）看出，κ*a2與κa2的兩項對係統能量的貢獻是一樣的. 聯合式（9.45）～（9.46），也能檢驗式（9.32）的結果.

9.2.3|(β)〉的Wigner函數與量子Tomogram

利用式（9.31）還能計算出它的Wigner函數與量子Tomogram. 為此，考慮在相幹態表象中Wigner算符Δ（z）的形式