量子力學語言——狄拉克符號法進階

9.3廣義的兩模熱真空態|φ(β)〉（1 / 3）

Z(β)=tr(e-βH＾3）

＝tr{εexp(μ*ab)∶exp[(eκ-1)aa+(eκ-1)bb]∶?

exp(μab)}.(9.53)

插入∫d2z1d2z2π2|z1z2〉〈z1z2|=1，並利用積分公式（9.14）和式（9.53），最終求出

Z(β)=ε∫d2z1d2z2π2〈z1z2|eμ*ab∶e(eκ-1)aa+(eκ-1)bb∶eμab|z1z2〉

=ε∫d2z1d2z2π2

exp[(eκ-1)|z1|2+(eκ-1)|z2|2+

μ*z*1z*2+μz1z2]

=ε(eκ-1)2-|μ|2.

(9.54)

於是

lnZ（β)=βω+κ-ln[(K-1)2-|μ|2],K=eκ(9.55)

利用配分函數Z（β)與熱動力學關係，係統H＾3的內能由式(9.54)求出為

〈H3〉e=-βlnZ(β)

=-ω-KKβ+1(K-1)2-|μ|2β[(K-1)2-|μ|2]

=-ω-KKβ+1(K-1)2-|μ|22(K-1)Kβ-

μμ*β-μ*μβ

(9.56)

Kβ=-K2β(MsinhM+βω)(9.57)

μβ=-gK2(9.58)

代入式（9.56）得

〈H3〉e=-ω+K（K-1）2-|μ|2-1β(MsinhM+βω)

(K2+|μ|2-1)+K(g*μ+gμ*)(9.59)

其中:

1-K2-|μ|2=2MsinhM(MsinhM+βω)(M+βωsinhM)2(9.60)

(K-1)2-|μ|2=(K-1-|μ|)(K-1+|μ|)

=4Msinh2M2M+βωsinhM(9.61)

把後兩式代入〈H3〉e中，並利用

(MsinhM+βω)2-|g|2β2=(M+βωsinhM)2(9.62)

最終得內能

〈H3〉e=-ω+ω2-|g|22(9.63)

9.3.2用|φ(β)〉導出係統的內能分布

以下用純態式（9.52）來求內解，以代替上節用係綜平均求式（9.63）的方法.由式（9.1）以及注意到〈φ(β)|φ(β)〉=1，可以計算出

〈ωaa〉e

=〈ωbb〉e

=12〈ω(aa+bb)〉e

=ω2〈φ(β)|(aa+bb)|φ(β)〉-ω

=εZ(β)ω2〈000～0～|

exp(μab+aeκbr2+beκbr2)?

(aa+bb)exp(μ*ab+aeκbr2+beκbr2)|000～0～〉-ω（9.64）

Z(β)=tr(e-βH＾3）

＝tr{εexp(μ*ab)∶exp[(eκ-1)aa+(eκ-1)bb]∶?

exp(μab)}.(9.53)

插入∫d2z1d2z2π2|z1z2〉〈z1z2|=1，並利用積分公式（9.14）和式（9.53），最終求出

Z(β)=ε∫d2z1d2z2π2〈z1z2|eμ*ab∶e(eκ-1)aa+(eκ-1)bb∶eμab|z1z2〉