=∑[nbr2]j=0wn-2j1(i|v|)2j+i∑[(n-1)br2]j=0C2j+1nwn-2j-11(-1)j|v|2j+1,(10.13)
可見（w1+i|v|)n的虛部為
∑[(n-1)br2]j=0C2j+1nwn-2j-11(-1)j|v|2j+1.(10.14)
聯合式（10.12）與式（10.13），得到
wn=Re[(w1+i|v|)n]+Im[(w1+i|v|)n]v|v|.(10.15)
所以，對於任一“實”函數f(w)=∑∞n=0λnwn，式中λn是實數，可以導出
f(w)=∑∞n=0λnRe[(w1+i|v|)n]+Im[(w1+i|v|)n]v|v|
=Re[f(w1+i|v|)]+Im[f(w1+i|v|)]v|v|.(10.16)
注意到在v的第二項是奇數，因此可以得到有關四元數指數函數的兩個等式:
exp[μw]
=Re[exp(μw1+i|μv|)]+Im[exp(μw1+i|μv|)]μv|μv|
=exp(μw1)cos(|μv|)+μv|μv|sin(|μv|)
(10.17)
和
exp[νw*]=(exp[νw])*
=exp(νw1)cos(|νv|)+νv|νv|sin(|νv|)*
=exp(νw1)cos(|νv|)-νv|νv|sin(|νv|).(10.18)
由於w與w*是對易的，則
exp[μw]exp[νw*]=exp[μw+νw*]
=exp[(μ+ν)w1+(μ-ν)v]
=exp[(μ+ν)w1]cos[|(μ-ν)v|]+
(μ-ν)v|(μ-ν)v|sin(|(μ-ν)v|).
(10.19)
於是，式（10.8）變為
I1=∫dw1π2exp[(μ+ν)w1+ρw21]∫d3vexp[(μ-ν)v+ρ|v|2]
=1-ρexp-(μ+ν)24ρ∫d3vπ3br2exp[(μ-ν)v+ρ|v|2].
(10.20)
式中：|v|2=24，上式右邊就是常見的正規的Gauss積分，計算它得到
∫d3vπ3br2exp[(μ-ν)v+ρ|v|2]=
∫∞04π|v|2d|v|π3br2eρ|v|2cos(λ|v|)
=2πddρ∫∞-∞dreρr2cos(λr)
=1(-ρ)3br21+λ22ρexpλ24ρ.
(10.21)
其中：λ=μ-ν.
式(10.20)的最終結果為
∫d4wπ2exp(ρ|w|2+μw+νw*)=1ρ21+(μ-ν)22ρe-μνbrρ.(10.22)
=∑[nbr2]j=0wn-2j1(i|v|)2j+i∑[(n-1)br2]j=0C2j+1nwn-2j-11(-1)j|v|2j+1,(10.13)
可見（w1+i|v|)n的虛部為