量子力學語言——狄拉克符號法進階

11.2對應於3×3變換矩陣的指數算符分解（1 / 2）

010

0-l321,(11.26)

就得到

q1q2q3∫d3′fq′1q′2q′3

q′1q′2q′3φ

=φf-1q1q2q3=φ(q1,q2-l21q1,q3-l31q1)

=e-l21q1q2+l31q1q3φ(q1,q2,q3),(11.27)

所以

F＾≡

exp-i(l21Q＾1P＾2+l31Q＾1P＾3).(11.28)

同樣地，由

q1q2q3l32∫d3′hq′1q′2q′3

q′1q′2q′3φ

=φh-1q1q2q3=φ(q1,q2,q3-l32q2)

=e-l32q2q3φ(q1,q2,q3),(11.29)

可推出

H＾≡

exp-il32Q＾2P＾3.(11.30)

另一方麵，由

y-1=10-u13

01-u23

001,

s-1=1-u120

010

001(11.31)

和

q1q2q3∫d3′yq′1q′2q′3

q′1q′2q′3φ

=φy-1q1q2q3

=e-u13q3q1+u23q3q2φ(q1,q2,q3),(11.32)

可以得到

Y＾≡

exp-i(u13Q＾3P＾1+u23Q＾3P＾2).(11.33)

同理，從

q1q2q3u12∫d3′sq′1q′2q′3

q′1q′2q′3φ

=φs-1q1q2q3

=e-u12q2q1φ(q1,q2,q3),(11.34)

得到

S＾≡

exp-iu12Q＾2P＾1.(11.35)

現在來看算符D＾3的形式，它是一個壓縮算符

D＾3=exp-i∑3i=1(Q＾iP＾i+P＾iQ＾i)lndii.(11.36)

綜合式（11.28），式（11.30），式（11.32），式（11.35）以及式（11.36），得到V＾的分解式

V＾=F＾H＾D＾3Y＾S＾

=exp-iQ＾1(l21P＾2+l31P＾3)

exp-il32Q＾2P＾3?

exp-i∑3i=1(Q＾iP＾i+P＾iQ＾i)lndii?

exp-iQ＾3(u13P＾1+u23P2)

exp-iu12Q＾2P＾1.

(11.37)

010