量子力學語言——狄拉克符號法進階

11.3對應於n×n變換矩陣的指數算符分解（1 / 2）

(11.52)

實際上

D＾=exp-i∑ni=1(Q＾iP＾i+P＾iQ＾i)lnDii,(11.53)

是一個n模壓縮算符. 為了求出L，U的具體形式，根據矩陣乘積，可以進一步將矩陣L，U分別分解為

L=

1000

L21100

Ln10…1

10…0

01…0

0Ln2…1

…

1…00

0…10

0…Lnn-11

≡L1L2…Ln-1,(11.54)

U=

1…00

0…1Un-1n

0…01

…

10…0

01…U2n

00…1

1U12…U1n

01…0

00…1

≡Un-1…U2U1.(11.55)

由式（11.54）和式（11.55），有

L＾≡L＾1L＾2…L＾n-1，U＾≡U＾n-1…U＾2U＾1,(11.56)

其中：

L＾i≡∫dnLiq1q2qn q1q2qn,i=2,3,…,n;(11.57)

和

U＾i≡∫dnUiq1q2qn q1q2qn,i=2,3,…,n.(11.58)

因此，將式(11.56）代入式（11.49），得到

A＾=L＾1L＾2…L＾n-1D＾U＾n-1…U＾2U＾1(11.59)

再利用式(11.25）的關係，就有

q1q2qn∫dn′Liq′1q′2q′n q′1q′2q′nφ〉

=φ[(q1,q2,…,qi,qi+1-Li+1iqi,…,qn-Lniqi)]

=exp-qi∑nk=i+1Lkiqkφ(q1,q2,…,qn),(11.60)

即

L＾i≡exp-i∑nk=i+1LkiQ＾iP＾i,i=1,2,…,n-1.(11.61)

同樣的方法，有

U＾i≡exp-i∑nk=i+1UikQ＾kP＾i,i=1,2,…,n-1.(11.62)

將式（11.53），式（11.61），式（11.62）代入式（11.59），就能導出A＾的表達式為

A＾≡∏n-1i=1

exp-i∑nk=i+1LkiQ＾iP＾k?

exp-i∑ni=1（Q＾iP＾i+P＾iQ＾i)lnDii

?

∏n-1i=1

exp-i∑nk=i+1UikQ＾kP＾i.

(11.63)

總之，使用適當的量子力學表象，把算符寫成是該表象中的矩陣的投影算符形式，矩陣的LDU分解就可以映射到希爾伯特空間的算符乘積上，利用這個就可以對算符進行分解，對於分析算符的壓縮和糾纏性質是十分有用的. 這種LDU分解和IWOP技術結合可以得到很多新的算符恒等式。

(11.52)